Дано: Задачи 1-9 из списка задач к билетам.
Решение:

1.  Выясните вид треугольника, если его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см.
    1.  Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
    2.  $10^2 = 100$.
    3.  Так как $6^2 + 8^2 = 10^2$, то треугольник прямоугольный.
    Ответ: Прямоугольный.

2.  Вычислите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, если $AD = 20$ см, $BC = 4$ см, $AB = 16$ см и угол $A$ равен $30^\circ$.
    1.  Проведем высоту $BH$ к основанию $AD$.
    2.  В прямоугольном треугольнике $ABH$: $BH = AB \cdot \sin{A} = 16 \cdot \sin{30^\circ} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
    3.  Площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{20 + 4}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².
    Ответ: 96 см².

3.  Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а один из углов равен $150^\circ$.
    1.  Площадь ромба можно найти по формуле: $S = a^2 \cdot \sin{\alpha}$, где $a$ - сторона ромба, $\alpha$ - один из его углов.
    2.  $S = 10^2 \cdot \sin{150^\circ} = 100 \cdot \sin{(180^\circ - 30^\circ)} = 100 \cdot \sin{30^\circ} = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ см².
    Ответ: 50 см².

4.  В прямоугольном треугольнике с острым углом $45^\circ$ гипотенуза равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите площадь этого треугольника.
    1.  Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол тоже равен $45^\circ$, значит, треугольник равнобедренный.
    2.  Пусть катеты равны $a$. Тогда по теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = (3\sqrt{2})^2$.
    3.  $2a^2 = 18$, $a^2 = 9$, $a = 3$ см.
    4.  Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 = \frac{9}{2} = 4.5$ см².
    Ответ: 4.5 см².

5.  Подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см, $A_1B_1 = 12$ см, $B_1C_1 = 20$ см, $A_1C_1 = 28$ см.
    1.  Проверим пропорциональность сторон: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{12}{3} = 4$, $\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{20}{5} = 4$, $\frac{A_1C_1}{CA} = \frac{28}{7} = 4$.
    2.  Так как отношения соответствующих сторон равны, то треугольники подобны по третьему признаку подобия.
    Ответ: Подобны.

6.  Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 8 см и 4.8 см, а высота, проведённая к стороне $AB$, равна 6 см. Найдите высоту, проведённую к стороне $BC$.
    1.  Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}$.
    2.  $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot h_{BC}$.
    3.  $48 = 4.8 \cdot h_{BC}$.
    4.  $h_{BC} = \frac{48}{4.8} = 10$ см.
    Ответ: 10 см.

7.  Вычислите сторону квадрата, если его площадь равна 125 см².
    1.  Площадь квадрата: $S = a^2$, где $a$ - сторона квадрата.
    2.  $a^2 = 125$.
    3.  $a = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.
    Ответ: $5\sqrt{5}$ см.

8.  Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см.
    1.  Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой.
    2.  Высота делит основание пополам, поэтому половина основания равна 5 см.
    3.  По теореме Пифагора: $h^2 + 5^2 = 13^2$.
    4.  $h^2 = 169 - 25 = 144$.
    5.  $h = \sqrt{144} = 12$ см.
    6.  Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².
    Ответ: 60 см².

9.  Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12 см.
    1.  Площадь равностороннего треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ - сторона треугольника.
    2.  $S = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².
    Ответ: $36\sqrt{3}$ см².