Дано: Прямоугольник $EXPN$, $EX = 16$, $XP = 30$. Треугольник $ORE$ с $OR = 21$, $RE = 72$, $OE = 75$.

Решение:

1.  Рассмотрим прямоугольник $EXPN$. Точка $M$ - точка пересечения диагоналей. Значит, $M$ - середина диагоналей $EP$ и $XN$.

1.  a) Найти $|\vec{EM} + \vec{XM}|$.
    1.  Так как $M$ - середина $EP$, то $\vec{EM} = \frac{1}{2} \vec{EP}$.
    2.  Так как $M$ - середина $XN$, то $\vec{XM} = \frac{1}{2} \vec{XN}$.
    3.  $\vec{EM} + \vec{XM} = \frac{1}{2} \vec{EP} + \frac{1}{2} \vec{XN}$.
    4.  В прямоугольнике диагонали равны, то есть $|\vec{EP}| = |\vec{XN}|$.
    5.  В прямоугольнике $EXPN$, $EP = \sqrt{EX^2 + XP^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$.
    6.  Следовательно, $|\vec{EM} + \vec{XM}| = |\frac{1}{2} \vec{EP} + \frac{1}{2} \vec{XN}|$.
    7.  Заметим, что $\vec{EP} + \vec{XN}$ не обязательно равно $\vec{0}$, поэтому $|\frac{1}{2} \vec{EP} + \frac{1}{2} \vec{XN}|$ не обязательно равно 0.
    8.  Перепишем $\vec{XM}$ как $-\vec{MX}$. Тогда $\vec{EM} + \vec{XM} = \vec{EM} - \vec{MX}$.
    9.  Воспользуемся правилом параллелограмма: $|\vec{EM} + \vec{XM}| = |\vec{EM} - \vec{MX}| = |\vec{EM} + \vec{ME}| = |\vec{EE}| = 0$.
    10. Другое решение:
    $\vec{EM} + \vec{XM} = \vec{EM} + \vec{XM} = \vec{EM} + \vec{MP} = \vec{EP}$.
    $|\vec{EM} + \vec{XM}| = |\vec{EP}| = 34$.

1.  б) Найти $|\vec{EM} - \vec{XM}|$.
    1.  $\vec{EM} - \vec{XM} = \vec{EM} + \vec{MX}$.
    2.  $\vec{EM} + \vec{MX} = \vec{EX}$.
    3.  $|\vec{EM} - \vec{XM}| = |\vec{EX}| = 16$.

2.  в) Найти $|\vec{EN} - \vec{EX}|$.
    1.  $\vec{EN} - \vec{EX} = \vec{EN} + \vec{XE} = \vec{XN}$.
    2.  $|\vec{EN} - \vec{EX}| = |\vec{XN}| = 34$.

3.  Рассмотрим треугольник $ORE$.

4.  а) Доказать, что треугольник $ORE$ прямоугольный.
    1.  Проверим теорему Пифагора: $OR^2 + RE^2 = OE^2$.
    2.  $21^2 + 72^2 = 441 + 5184 = 5625$.
    3.  $75^2 = 5625$.
    4.  Так как $OR^2 + RE^2 = OE^2$, то треугольник $ORE$ прямоугольный.

5.  б) Найти $\cos \angle O$.
    1.  $\cos \angle O = \frac{OR}{OE} = \frac{21}{75} = \frac{7}{25} = 0.28$.

6.  в) Найти $\angle O$.
    1.  $\angle O = \arccos(0.28) \approx 73.74^\circ$.

Ответ:
1.  a) $|\vec{EM} + \vec{XM}| = 34$.
2.  б) $|\vec{EM} - \vec{XM}| = 16$.
3.  в) $|\vec{EN} - \vec{EX}| = 34$.
4.  а) Треугольник $ORE$ прямоугольный.
5.  б) $\cos \angle O = 0.28$.
6.  в) $\angle O \approx 73.74^\circ$.