Дано:
Имеется 8 шаров: 4 белых и 4 черных.
Шары вынимают из урны до появления первого черного шара.
Пусть $X$ — случайная величина, равная числу белых шаров, вынутых до появления первого черного шара.
Представлены следующие вероятности:
Число белых шаров (k): 0, 1, 2, 3, 4
Вероятность $P(X=k)$: $1/2$, $3/8$, $1/8$, $1/16$, $1/20$.

Требуется найти:
Математическое ожидание $M(X)$.
Дисперсию $D(X)$.
Функцию распределения $F_X(x)$.

Решение:
1. Проверим, являются ли представленные вероятности корректными. Сумма вероятностей должна быть равна 1.
$P(X=0) = 1/2$
$P(X=1) = 3/8$
$P(X=2) = 1/8$
$P(X=3) = 1/16$
$P(X=4) = 1/20$

Сумма вероятностей:
$S = 1/2 + 3/8 + 1/8 + 1/16 + 1/20$
Приведем к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 8, 16, 20 равен 80.
$S = (1 \cdot 40)/80 + (3 \cdot 10)/80 + (1 \cdot 10)/80 + (1 \cdot 5)/80 + (1 \cdot 4)/80$
$S = 40/80 + 30/80 + 10/80 + 5/80 + 4/80$
$S = (40 + 30 + 10 + 5 + 4) / 80 = 89/80$

Сумма вероятностей $89/80$ больше 1. Это означает, что представленные в условии вероятности некорректны или неполны. Вероятность $P(X=4) = 1/20$ также вызывает сомнения, так как при вынимании 4 белых шаров, следующий шар обязательно будет черным, и это событие должно иметь вероятность, рассчитанную исходя из оставшихся шаров.

Предположим, что задача подразумевает выборку без возвращения, и вероятности должны быть пересчитаны.
Всего шаров: 8 (4 белых, 4 черных).
Вынимаем до первого черного шара.
Возможные значения $X$ (число белых шаров до первого черного): 0, 1, 2, 3, 4.

Рассчитаем вероятности заново:
$P(X=0)$: Первый шар черный.
Вероятность вынуть черный шар первым: $4/8 = 1/2$.
$P(X=0) = 1/2$.

$P(X=1)$: Первый шар белый, второй черный.
Вероятность вынуть белый шар первым: $4/8$.
После этого осталось 7 шаров (3 белых, 4 черных).
Вероятность вынуть черный шар вторым: $4/7$.
$P(X=1) = (4/8) \cdot (4/7) = (1/2) \cdot (4/7) = 4/14 = 2/7$.

$P(X=2)$: Первый белый, второй белый, третий черный.
$P(\text{ББЧ}) = (4/8) \cdot (3/7) \cdot (4/6) = (1/2) \cdot (3/7) \cdot (2/3) = 6/42 = 1/7$.
$P(X=2) = 1/7$.

$P(X=3)$: Первый белый, второй белый, третий белый, четвертый черный.
$P(\text{БББЧ}) = (4/8) \cdot (3/7) \cdot (2/6) \cdot (4/5) = (1/2) \cdot (3/7) \cdot (1/3) \cdot (4/5) = 12/210 = 2/35$.
$P(X=3) = 2/35$.

$P(X=4)$: Четыре белых шара, затем пятый черный.
$P(\text{ББББЧ}) = (4/8) \cdot (3/7) \cdot (2/6) \cdot (1/5) \cdot (4/4) = (1/2) \cdot (3/7) \cdot (1/3) \cdot (1/5) \cdot 1 = 12/420 = 1/35$.
$P(X=4) = 1/35$.

Проверим сумму пересчитанных вероятностей:
$S = 1/2 + 2/7 + 1/7 + 2/35 + 1/35$
$S = 1/2 + 3/7 + 3/35$
Приведем к общему знаменателю 70:
$S = (1 \cdot 35)/70 + (3 \cdot 10)/70 + (3 \cdot 2)/70$
$S = 35/70 + 30/70 + 6/70 = (35 + 30 + 6) / 70 = 71/70$.

Снова сумма больше 1. Это указывает на то, что либо условие задачи неполное, либо представленные в таблице вероятности являются верными, несмотря на их некорректность, и задача требует работы именно с ними.
В условиях задачи явно указано: "Не пиши строку "Ответ:" до тех пор, пока не выполнены все необходимые вычисления и логические переходы. Если часть условия неразборчива, явно скажи, какая именно часть неразборчива, и не придумывай недостающие данные."

Часть условия, а именно вероятности, представленные в таблице, являются некорректными, так как их сумма превышает 1. Невозможно корректно рассчитать математическое ожидание и дисперсию для некорректного распределения вероятностей.

Однако, если предположить, что задача требует использовать именно эти числа как есть, несмотря на их некорректность, то расчеты будут следующими:

Дано (с некорректными вероятностями из таблицы):
$k$: 0, 1, 2, 3, 4
$P(X=k)$: $1/2$, $3/8$, $1/8$, $1/16$, $1/20$.

2. Расчет математического ожидания $M(X)$ по заданным вероятностям:
$M(X) = \sum_{k=0}^{4} k \cdot P(X=k)$
$M(X) = 0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (3/8) + 2 \cdot (1/8) + 3 \cdot (1/16) + 4 \cdot (1/20)$
$M(X) = 0 + 3/8 + 2/8 + 3/16 + 4/20$
$M(X) = 5/8 + 3/16 + 1/5$
Приведем к общему знаменателю 80:
$M(X) = (5 \cdot 10)/80 + (3 \cdot 5)/80 + (1 \cdot 16)/80$
$M(X) = 50/80 + 15/80 + 16/80 = (50 + 15 + 16) / 80 = 81/80$.

3. Расчет дисперсии $D(X)$ по заданным вероятностям:
$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$
Сначала найдем $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 \cdot P(X=k)$
$M(X^2) = 0^2 \cdot (1/2) + 1^2 \cdot (3/8) + 2^2 \cdot (1/8) + 3^2 \cdot (1/16) + 4^2 \cdot (1/20)$
$M(X^2) = 0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (3/8) + 4 \cdot (1/8) + 9 \cdot (1/16) + 16 \cdot (1/20)$
$M(X^2) = 0 + 3/8 + 4/8 + 9/16 + 16/20$
$M(X^2) = 7/8 + 9/16 + 4/5$
Приведем к общему знаменателю 80:
$M(X^2) = (7 \cdot 10)/80 + (9 \cdot 5)/80 + (4 \cdot 16)/80$
$M(X^2) = 70/80 + 45/80 + 64/80 = (70 + 45 + 64) / 80 = 179/80$.

Теперь рассчитаем дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$
$D(X) = 179/80 - (81/80)^2$
$D(X) = 179/80 - 6561/6400$
Приведем к общему знаменателю 6400:
$D(X) = (179 \cdot 80)/6400 - 6561/6400$
$D(X) = 14320/6400 - 6561/6400 = (14320 - 6561) / 6400 = 7759/6400$.

4. Расчет функции распределения $F_X(x)$:
Функция распределения $F_X(x) = P(X \le x)$.
$F_X(x) = 0$ при $x < 0$.
$F_X(x) = P(X \le 0) = P(X=0) = 1/2$ при $0 \le x < 1$.
$F_X(x) = P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/2 + 3/8 = 4/8 + 3/8 = 7/8$ при $1 \le x < 2$.
$F_X(x) = P(X \le 2) = P(X \le 1) + P(X=2) = 7/8 + 1/8 = 8/8 = 1$ при $2 \le x < 3$.
$F_X(x) = P(X \le 3) = P(X \le 2) + P(X=3) = 1 + 1/16 = 17/16$ при $3 \le x < 4$.
$F_X(x) = P(X \le 4) = P(X \le 3) + P(X=4) = 17/16 + 1/20 = (17 \cdot 5)/80 + (1 \cdot 4)/80 = 85/80 + 4/80 = 89/80$ при $x \ge 4$.

Полученные значения функции распределения $F_X(x)$ для $x \ge 2$ превышают 1, что подтверждает некорректность исходных вероятностей.

Учитывая, что представленные вероятности некорректны (их сумма больше 1), невозможно дать строгое математически верное решение. Однако, если задача требует использовать именно эти числа, то расчеты приведены выше.

Ответ:
Представленные в условии вероятности некорректны, так как их сумма равна $89/80$, что больше 1. Следовательно, невозможно корректно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Если использовать заданные вероятности как есть, несмотря на их некорректность:
Математическое ожидание $M(X) = 81/80$.
Дисперсия $D(X) = 7759/6400$.
Функция распределения $F_X(x)$ имеет следующие значения на интервалах:
$F_X(x) = 0$ при $x < 0$.
$F_X(x) = 1/2$ при $0 \le x < 1$.
$F_X(x) = 7/8$ при $1 \le x < 2$.
$F_X(x) = 1$ при $2 \le x < 3$.
$F_X(x) = 17/16$ при $3 \le x < 4$.
$F_X(x) = 89/80$ при $x \ge 4$.