Дано:
Функция $z = 3x^2 + 5y^2$.
Точка $A(1; -1)$.
Вектор $\vec{a}(2; 1)$.

Решение:
1.  Для нахождения производной функции по направлению вектора, сначала найдем градиент функции $z(x, y)$. Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных по каждой переменной.
    $$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}; \frac{\partial z}{\partial y} \right)$$
2.  Вычислим частную производную функции $z$ по $x$:
    $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + 5y^2) = 3 \cdot 2x + 0 = 6x$$
3.  Вычислим частную производную функции $z$ по $y$:
    $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 5y^2) = 0 + 5 \cdot 2y = 10y$$
4.  Таким образом, градиент функции $z$ имеет вид:
    $$\nabla z = (6x; 10y)$$
5.  Найдем значение градиента в точке $A(1; -1)$. Подставим $x = 1$ и $y = -1$ в выражение для градиента:
    $$\nabla z(A) = (6 \cdot 1; 10 \cdot (-1)) = (6; -10)$$
6.  Далее, найдем единичный вектор направления $\vec{e}$ для заданного вектора $\vec{a}(2; 1)$. Для этого разделим вектор $\vec{a}$ на его длину.
    Длина вектора $\vec{a}$ вычисляется как:
    $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
7.  Единичный вектор направления $\vec{e}$ равен:
    $$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}; \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$$
8.  Производная функции по направлению вектора (называемая также направленной производной) вычисляется как скалярное произведение градиента функции в данной точке на единичный вектор направления:
    $$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}} = \nabla z(A) \cdot \vec{e}$$
9.  Вычислим скалярное произведение:
    $$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}} = (6; -10) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}; \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + (-10) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$$
    $$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}} = \frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{12 - 10}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
10. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
    $$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ:
$$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$