Дано:
1. Найти линии кривизны поверхности $f(u, v) = (u^2 + v^2, u^2 - v^2, v)$.
2. Построить репер Френе и найти кривизну кривой $a(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$.
3. Доказать, что линии $y = \sin x$, $y = x^4 - \frac{1}{6}x^3 + x$ имеют в начале координат касание третьего порядка.
4. Найти огибающую семейства окружностей радиуса $r$, центры которых описывают окружность радиуса $R$.
5. Составить уравнения эволюты кривой $a(t) = (t, \frac{t^2}{4})$.
6. Записать первую и вторую фундаментальные формы поверхности $f(u,v) = (a \cosh u \cos v, a \cosh u \sin v, b \sinh u)$.
7. Исследовать характер точек на поверхности, полученной вращением линии $y = \ln x$ вокруг оси $Oy$.
8. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали, а также первую фундаментальную форму поверхности $f(u, v) = (2u - v, u^2 + v^2, u^3 - v^3)$ в точке $M(3, 5, 7)$.

Решение:

1.  Найдём линии кривизны поверхности $f(u, v) = (u^2 + v^2, u^2 - v^2, v)$.

Для нахождения линий кривизны необходимо решить дифференциальное уравнение $D du^2 + (E - G) du dv - F dv^2 = 0$, где $E, F, G$ и $L, M, N$ коэффициенты первой и второй квадратичных форм соответственно, а $D = EG - F^2$ и $K = LN - M^2$.

$f_u = (2u, 2u, 0)$
$f_v = (2v, -2v, 1)$
$f_u \times f_v = (2u, -2u, -8uv)$
$n = \frac{f_u \times f_v}{||f_u \times f_v||} = \frac{(2u, -2u, -8uv)}{\sqrt{4u^2 + 4u^2 + 64u^2v^2}} = \frac{(u, -u, -4uv)}{\sqrt{2u^2 + 32u^2v^2}} = \frac{(1, -1, -4v)}{\sqrt{2 + 32v^2}}$

$f_{uu} = (2, 2, 0)$
$f_{uv} = (0, 0, 0)$
$f_{vv} = (2, -2, 0)$

$L = (n, f_{uu}) = \frac{(1, -1, -4v)}{\sqrt{2 + 32v^2}} \cdot (2, 2, 0) = \frac{2 - 2}{\sqrt{2 + 32v^2}} = 0$
$M = (n, f_{uv}) = \frac{(1, -1, -4v)}{\sqrt{2 + 32v^2}} \cdot (0, 0, 0) = 0$
$N = (n, f_{vv}) = \frac{(1, -1, -4v)}{\sqrt{2 + 32v^2}} \cdot (2, -2, 0) = \frac{2 + 2}{\sqrt{2 + 32v^2}} = \frac{4}{\sqrt{2 + 32v^2}}$

$E = (f_u, f_u) = (2u, 2u, 0) \cdot (2u, 2u, 0) = 4u^2 + 4u^2 = 8u^2$
$F = (f_u, f_v) = (2u, 2u, 0) \cdot (2v, -2v, 1) = 4uv - 4uv = 0$
$G = (f_v, f_v) = (2v, -2v, 1) \cdot (2v, -2v, 1) = 4v^2 + 4v^2 + 1 = 8v^2 + 1$

$D = EG - F^2 = 8u^2(8v^2 + 1) - 0 = 64u^2v^2 + 8u^2$
$D du^2 + (E - G) du dv - F dv^2 = 0$
$(64u^2v^2 + 8u^2) du^2 + (8u^2 - 8v^2 - 1) du dv = 0$

2.  Построим репер Френе и найдем кривизну кривой $a(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$.

$a'(t) = (-3\cos^2 t \sin t, 3\sin^2 t \cos t)$
$||a'(t)|| = \sqrt{9\cos^4 t \sin^2 t + 9\sin^4 t \cos^2 t} = 3|\cos t \sin t| \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = \frac{3}{2}|\sin 2t|$

$\tau(t) = \frac{a'(t)}{||a'(t)||} = \frac{(-3\cos^2 t \sin t, 3\sin^2 t \cos t)}{\frac{3}{2}|\sin 2t|} = \frac{2(-\cos^2 t \sin t, \sin^2 t \cos t)}{|\sin 2t|}$

$a''(t) = (6\cos t \sin^2 t - 3\cos^3 t, 6\sin t \cos^2 t - 3\sin^3 t) = (3\cos t(2\sin^2 t - \cos^2 t), 3\sin t(2\cos^2 t - \sin^2 t))$

$\kappa(t) = \frac{||a'(t) \times a''(t)||}{||a'(t)||^3}$
$a'(t) \times a''(t) = (-3\cos^2 t \sin t, 3\sin^2 t \cos t, 0) \times (3\cos t(2\sin^2 t - \cos^2 t), 3\sin t(2\cos^2 t - \sin^2 t), 0) = (0, 0, -9\cos^2 t \sin^2 t(2\cos^2 t - \sin^2 t) - 9\sin^2 t \cos^2 t(2\sin^2 t - \cos^2 t)) = (0, 0, -9\cos^2 t \sin^2 t(2\cos^2 t - \sin^2 t + 2\sin^2 t - \cos^2 t)) = (0, 0, -9\cos^2 t \sin^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t)) = (0, 0, -9\cos^2 t \sin^2 t)$

$||a'(t) \times a''(t)|| = 9\cos^2 t \sin^2 t$
$\kappa(t) = \frac{9\cos^2 t \sin^2 t}{(\frac{3}{2}|\sin 2t|)^3} = \frac{9\cos^2 t \sin^2 t}{\frac{27}{8}|\sin^3 2t|} = \frac{8\cos^2 t \sin^2 t}{3(2|\sin t \cos t|)^3} = \frac{8\cos^2 t \sin^2 t}{3 \cdot 8 |\sin^3 t \cos^3 t|} = \frac{1}{3|\sin t \cos t|} = \frac{2}{3|\sin 2t|}$

3.  Доказать, что линии $y = \sin x$, $y = x^4 - \frac{1}{6}x^3 + x$ имеют в начале координат касание третьего порядка.

$y_1 = \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$
$y_2 = x^4 - \frac{1}{6}x^3 + x$

$y_1(0) = 0$
$y_2(0) = 0$
$y_1'(x) = \cos x$
$y_2'(x) = 4x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1$
$y_1'(0) = 1$
$y_2'(0) = 1$
$y_1''(x) = -\sin x$
$y_2''(x) = 12x^2 - x$
$y_1''(0) = 0$
$y_2''(0) = 0$
$y_1'''(x) = -\cos x$
$y_2'''(x) = 24x - 1$
$y_1'''(0) = -1$
$y_2'''(0) = -1$
$y_1^{(4)}(x) = \sin x$
$y_2^{(4)}(x) = 24$
$y_1^{(4)}(0) = 0$
$y_2^{(4)}(0) = 24$

Так как первые три производные совпадают в точке $x = 0$, а четвертые нет, то касание третьего порядка.

4.  Найти огибающую семейства окружностей радиуса $r$, центры которых описывают окружность радиуса $R$.

Пусть центры окружностей описываются параметрически: $(R\cos t, R\sin t)$. Тогда уравнение семейства окружностей:
$(x - R\cos t)^2 + (y - R\sin t)^2 = r^2$
$F(x, y, t) = (x - R\cos t)^2 + (y - R\sin t)^2 - r^2 = 0$
$\frac{\partial F}{\partial t} = 2(x - R\cos t)R\sin t - 2(y - R\sin t)R\cos t = 0$
$(x - R\cos t)\sin t - (y - R\sin t)\cos t = 0$
$x\sin t - R\cos t \sin t - y\cos t + R\sin t \cos t = 0$
$x\sin t - y\cos t = 0$
$x\sin t = y\cos t$
$\tan t = \frac{y}{x}$
$\sin t = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
$\cos t = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$(x - R\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 + (y - R\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 = r^2$
$x^2(1 - \frac{R}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 + y^2(1 - \frac{R}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 = r^2$
$(x^2 + y^2)(1 - \frac{R}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 = r^2$
$\sqrt{x^2 + y^2} - R = \pm r$
$\sqrt{x^2 + y^2} = R \pm r$
$x^2 + y^2 = (R \pm r)^2$

5.  Составить уравнения эволюты кривой $a(t) = (t, \frac{t^2}{4})$.

$a'(t) = (1, \frac{t}{2})$
$a''(t) = (0, \frac{1}{2})$
$a'(t) \times a''(t) = (0, 0, \frac{1}{2})$
$||a'(t)||^3 = (1 + \frac{t^2}{4})^{3/2}$
$\kappa(t) = \frac{||a'(t) \times a''(t)||}{||a'(t)||^3} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 + \frac{t^2}{4})^{3/2}} = \frac{2}{(4 + t^2)^{3/2}}$
$n(t) = \frac{a''(t)}{||a''(t)||} = \frac{(-\frac{t}{2}, 1)}{\sqrt{1 + \frac{t^2}{4}}} = \frac{(-t, 2)}{\sqrt{4 + t^2}}$
$e(t) = a(t) + \frac{1}{\kappa(t)} n(t) = (t, \frac{t^2}{4}) + \frac{(4 + t^2)^{3/2}}{2} \frac{(-t, 2)}{\sqrt{4 + t^2}} = (t, \frac{t^2}{4}) + \frac{(4 + t^2)(-t, 2)}{2} = (t - \frac{t(4 + t^2)}{2}, \frac{t^2}{4} + (4 + t^2)) = (t - 2t - \frac{t^3}{2}, \frac{t^2}{4} + 4 + t^2) = (-t - \frac{t^3}{2}, 4 + \frac{5t^2}{4})$

6.  Записать первую и вторую фундаментальные формы поверхности $f(u,v) = (a \cosh u \cos v, a \cosh u \sin v, b \sinh u)$.

$f_u = (a \sinh u \cos v, a \sinh u \sin v, b \cosh u)$
$f_v = (-a \cosh u \sin v, a \cosh u \cos v, 0)$
$f_{uu} = (a \cosh u \cos v, a \cosh u \sin v, b \sinh u)$
$f_{uv} = (-a \sinh u \sin v, a \sinh u \cos v, 0)$
$f_{vv} = (-a \cosh u \cos v, -a \cosh u \sin v, 0)$

$E = (f_u, f_u) = a^2 \sinh^2 u \cos^2 v + a^2 \sinh^2 u \sin^2 v + b^2 \cosh^2 u = a^2 \sinh^2 u + b^2 \cosh^2 u$
$F = (f_u, f_v) = -a^2 \sinh u \cosh u \cos v \sin v + a^2 \sinh u \cosh u \sin v \cos v = 0$
$G = (f_v, f_v) = a^2 \cosh^2 u \sin^2 v + a^2 \cosh^2 u \cos^2 v = a^2 \cosh^2 u$

Первая фундаментальная форма: $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 = (a^2 \sinh^2 u + b^2 \cosh^2 u) du^2 + a^2 \cosh^2 u dv^2$

$f_u \times f_v = (-b \cosh^2 u \cos v, -b \cosh^2 u \sin v, a \sinh u \cosh u)$
$n = \frac{f_u \times f_v}{||f_u \times f_v||} = \frac{(-b \cosh^2 u \cos v, -b \cosh^2 u \sin v, a \sinh u \cosh u)}{\sqrt{b^2 \cosh^4 u + a^2 \sinh^2 u \cosh^2 u}}$

$L = (n, f_{uu}) = \frac{b^2 \cosh^3 u \cos^2 v + b^2 \cosh^3 u \sin^2 v + a^2 \sinh^2 u \cosh u}{\sqrt{b^2 \cosh^4 u + a^2 \sinh^2 u \cosh^2 u}} = \frac{b^2 \cosh^3 u + a^2 \sinh^2 u \cosh u}{\sqrt{b^2 \cosh^4 u + a^2 \sinh^2 u \cosh^2 u}}$
$M = (n, f_{uv}) = \frac{b^2 \cosh^2 u \sinh u \cos v \sin v - b^2 \cosh^2 u \sinh u \cos v \sin v}{\sqrt{b^2 \cosh^4 u + a^2 \sinh^2 u \cosh^2 u}} = 0$
$