Дано: Вероятность появления события в каждом из $n$ независимых испытаний равна 0,7.

Найти вероятность того, что событие появится:
а) не менее 1470 и не более 1500 раз;
б) не менее 1470 раз;
в) не более 1469 раз.

Решение:
Пусть $n = 2100$, $p = 0.7$, $q = 1 - p = 0.3$.
Тогда $np = 2100 \cdot 0.7 = 1470$, $nq = 2100 \cdot 0.3 = 630$, $npq = 1470 \cdot 0.3 = 441$, $\sqrt{npq} = \sqrt{441} = 21$.

а) $k_1 = 1470$, $k_2 = 1500$.
$$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{1470 - 1470}{21} = 0$$
$$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{1500 - 1470}{21} = \frac{30}{21} = \frac{10}{7} \approx 1.43$$
$$P_{2100}(1470; 1500) = \Phi(1.43) - \Phi(0) = \Phi(1.43) - 0$$
По таблице Лапласа $\Phi(1.43) \approx 0.4236$.
Следовательно, $P_{2100}(1470; 1500) \approx 0.4236$.

б) $k_1 = 1470$, $k_2 = 2100$.
$$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{1470 - 1470}{21} = 0$$
$$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{2100 - 1470}{21} = \frac{630}{21} = 30$$
$$P_{2100}(1470; 2100) = \Phi(30) - \Phi(0) = 0.5 - 0 = 0.5$$
Так как $\Phi(x) \to 0.5$ при $x \to \infty$.

в) $k_1 = 0$, $k_2 = 1469$.
$$x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{0 - 1470}{21} = -70$$
$$x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{1469 - 1470}{21} = \frac{-1}{21} \approx -0.048$$
$$P_{2100}(0; 1469) = \Phi(-0.048) - \Phi(-70) = \Phi(70) - \Phi(0.048) = 0.5 - \Phi(0.048)$$
По таблице Лапласа $\Phi(0.048) \approx 0.0191$.
Следовательно, $P_{2100}(0; 1469) \approx 0.5 - 0.0191 = 0.4809$.

Ответ:
а) $P_{2100}(1470; 1500) \approx 0.4236$;
б) $P_{2100}(1470; 2100) \approx 0.5$;
в) $P_{2100}(0; 1469) \approx 0.4809$.