Дано: Решить дифференциальное уравнение $y'' + 4y = 3\sin{x}$.

Решение:
1. Решаем однородное уравнение $y'' + 4y = 0$.
2. Составляем характеристическое уравнение: $k^2 + 4 = 0$.
3. Находим корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = \pm 2i$.
4. Записываем общее решение однородного уравнения: $y_{oo} = C_1\cos{2x} + C_2\sin{2x}$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.
5. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде $y_ч = A\sin{x} + B\cos{x}$.
6. Находим первую производную $y_ч$: $y'_ч = A\cos{x} - B\sin{x}$.
7. Находим вторую производную $y_ч$: $y''_ч = -A\sin{x} - B\cos{x}$.
8. Подставляем $y_ч$ и $y''_ч$ в исходное уравнение: $-A\sin{x} - B\cos{x} + 4(A\sin{x} + B\cos{x}) = 3\sin{x}$.
9. Группируем члены с $\sin{x}$ и $\cos{x}$: $(-A + 4A)\sin{x} + (-B + 4B)\cos{x} = 3\sin{x}$.
10. Получаем систему уравнений:
   $3A = 3$
   $3B = 0$
11. Решаем систему уравнений:
    $A = 1$
    $B = 0$
12. Записываем частное решение: $y_ч = \sin{x}$.
13. Записываем общее решение неоднородного уравнения: $y = C_1\cos{2x} + C_2\sin{2x} + \sin{x}$.

Ответ: $y = C_1\cos{2x} + C_2\sin{2x} + \sin{x}$.