Дано:
Высота прямоугольного параллелепипеда $h = 6\frac{2}{3}$ см.
Длина $l$ в $2\frac{1}{4}$ раза больше высоты.
Ширина $w$ составляет 20% длины.

Решение:
1. Переведём смешанную дробь в неправильную: $h = 6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{18 + 2}{3} = \frac{20}{3}$ см.
2. Переведём смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
3. Найдём длину параллелепипеда: $l = h \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{20 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$ см.
4. Найдём ширину параллелепипеда: $w = 0.2 \cdot l = 0.2 \cdot 15 = 3$ см.
5. Вычислим объём параллелепипеда: $V = l \cdot w \cdot h = 15 \cdot 3 \cdot \frac{20}{3} = 15 \cdot 20 = 300$ см³.

Ответ: Объём параллелепипеда равен 300 см³.