Билет 1.
1.  Луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

    Рисунок:

    [Здесь должна быть картинка с углом и биссектрисой, как на исходном изображении]

2.  Дано: Треугольник $ABC$, $BM$ - медиана, $BH$ - высота, $AC = 216$, $HC = 54$, $\angle ACB = 40^\circ$.
    Найти: $\angle AMB$.

    Решение:
    1.  Найдем $AH = AC - HC = 216 - 54 = 162$.
    2.  Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. $\angle CBH = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
    3.  Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 216 = 108$.
    4.  $MH = MC - HC = 108 - 54 = 54$.
    5.  Следовательно, $MH = HC$.
    6.  Рассмотрим треугольник $BHM$. Так как $BH$ - высота, то $\angle BHM = 90^\circ$. Тогда $BM = \sqrt{BH^2 + MH^2}$.
    7.  Рассмотрим треугольник $BHC$. $BC = \sqrt{BH^2 + HC^2}$.
    8.  Заметим, что $\tan(\angle CBH) = \frac{HC}{BH}$, следовательно, $BH = \frac{HC}{\tan(\angle CBH)} = \frac{54}{\tan(50^\circ)}$.
    9.  Тогда $BM = \sqrt{(\frac{54}{\tan(50^\circ)})^2 + 54^2} = 54\sqrt{\frac{1}{\tan^2(50^\circ)} + 1} = 54\sqrt{\frac{1 + \tan^2(50^\circ)}{\tan^2(50^\circ)}} = \frac{54}{\tan(50^\circ)\cos(50^\circ)}$.
    10. Рассмотрим треугольник $ABH$. $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{162^2 + (\frac{54}{\tan(50^\circ)})^2} = \sqrt{162^2 + \frac{54^2}{\tan^2(50^\circ)}}$.
    11. По теореме косинусов в треугольнике $ABM$: $AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB)$.
    12. $\cos(\angle AMB) = \frac{AM^2 + BM^2 - AB^2}{2 \cdot AM \cdot BM} = \frac{108^2 + (\frac{54}{\tan(50^\circ)\cos(50^\circ)})^2 - (162^2 + \frac{54^2}{\tan^2(50^\circ)})}{2 \cdot 108 \cdot \frac{54}{\tan(50^\circ)\cos(50^\circ)}} = \frac{108^2 + \frac{54^2}{\tan^2(50^\circ)\cos^2(50^\circ)} - 162^2 - \frac{54^2}{\tan^2(50^\circ)}}{2 \cdot 108 \cdot \frac{54}{\tan(50^\circ)\cos(50^\circ)}}$.
    13. $\angle AMB \approx 34^\circ$.

    Ответ: $\angle AMB \approx 34^\circ$.

3.  Дано: Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ параллельна стороне $AC$, $\angle ABC = 28^\circ$.
    Найти: $\angle CAB$.

    Решение:
    1.  Пусть $BD$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Тогда $\angle CBD = \angle DBA$.
    2.  Так как $BD \parallel AC$, то $\angle CBD = \angle BCA$ как соответственные углы.
    3.  И $\angle DBA = \angle BAC$ как накрест лежащие углы.
    4.  Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC$.
    5.  Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ$.
    6.  $\angle ABC + 2\angle BAC = 180^\circ$.
    7.  $28^\circ + 2\angle BAC = 180^\circ$.
    8.  $2\angle BAC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
    9.  $\angle BAC = \frac{152^\circ}{2} = 76^\circ$.

    Ответ: $\angle CAB = 76^\circ$.

4.  Какие из следующих утверждений верны?
    1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. - Верно, так как $1 + 2 < 4$.
    2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. - Верно, это постулат Евклида.
    3) Сумма углов любого треугольника равна $90^\circ$. - Неверно, сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

    Ответ: Утверждения 1 и 2 верны.

Билет 2.

1.  Основные геометрические фигуры на плоскости. Отрезок (определение).

    Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.

    Рисунок:

    [Здесь должна быть картинка с отрезком и двумя точками на концах]

2.  Дано: Прямые $m$ и $n$ параллельны, $\angle 1 = 22^\circ$, $\angle 2 = 72^\circ$.
    Найти: $\angle 3$.

    Решение:
    1.  $\angle 1$ и $\angle 3$ являются соответственными углами при параллельных прямых $m$ и $n$ и секущей.
    2.  $\angle 3$ и угол, смежный с $\angle 2$, являются соответственными углами при параллельных прямых $m$ и $n$ и секущей.
    3.  Угол, смежный с $\angle 2$, равен $180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
    4.  Следовательно, $\angle 3 = 108^\circ$.

    Ответ: $\angle 3 = 108^\circ$.

3.  Дано: На сторонах угла $BAC$, равного $20^\circ$, и на его биссектрисе отложены равные отрезки $AB$, $AC$ и $AD$.
    Определите величину угла $BDC$.

    Решение:
    1.  Так как $AD$ - биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 20^\circ = 10^\circ$.
    2.  Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный.
    3.  $\angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - \angle BAD}{2} = \frac{180^\circ - 10^\circ}{2} = \frac{170^\circ}{2} = 85^\circ$.
    4.  Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $AC = AD$, то треугольник $ADC$ равнобедренный.
    5.  $\angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle CAD}{2} = \frac{180^\circ - 10^\circ}{2} = \frac{170^\circ}{2} = 85^\circ$.
    6.  $\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB$. Это неверно.
    7.  $\angle BDC = 180 - \angle DBC - \angle BCD$.
    8.  $\angle ABC = \angle ABD = 85$.
    9.  $\angle ACB = \angle ACD = 85$.
    10. $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$. Это неверно.
    11. Рассмотрим треугольник $ADC$. $\angle ADC = 85^\circ$.
    12. $\angle BDA = 85^\circ$.
    13. $\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB$. Это неверно.

    Не могу решить эту задачу.

4.  Какое из следующих утверждений верно?
    1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. - Неверно, так как $1 + 2 < 4$.
    2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. - Верно, это свойство равнобедренного треугольника.
    3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны. - Верно.

    Ответ: Утверждения 2 и 3 верны.

Билет 3.

1.  Измерение и сравнение отрезков, середина отрезка. Длина отрезка. Сравнение отрезков.

    Измерение отрезков - это процесс определения их длины с помощью выбранной единицы измерения.
    Середина отрезка - это точка, делящая отрезок на две равные части.
    Длина отрезка - это число, выражающее расстояние между концами отрезка в выбранных единицах измерения.
    Сравнение отрезков - это определение, какой из двух отрезков длиннее или короче, или равны ли они.

2.  Дано: В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$.
    Найти: $\angle AOK$.

    Решение:
    1.  В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.
    2.  Медианы в равностороннем треугольнике являются и высотами, и биссектрисами.
    3.  Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
    4.  $\angle BAK = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
    5.  $\angle ABK = 60^\circ$.
    6.  Рассмотрим треугольник $ABK$. $\angle AKB = 90^\circ$.
    7.  $\angle AOK = 180^\circ - \angle OAK - \angle AKO = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

    Ответ: $\angle AOK = 60^\circ$.

3.  Дано: Высоты, проведенные к боковым сторонам $AB$ и $AC$ остроугольного равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. $\angle BMC = 140^\circ$.
    Найти: Углы треугольника $ABC$.

    Решение:
    1.  Пусть $BB_1$ и $CC_1$ - высоты, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно.
    2.  $\angle BMC = 140^\circ$.
    3.  $\angle B_1MC_1 = \angle BMC = 140^\circ$ как вертикальные углы.
    4.  Рассмотрим четырехугольник $AB_1MC_1$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.
    5.  $\angle BAC + \angle AB_1M + \angle AC_1M + \angle B_1MC_1 = 360^\circ$.
    6.  $\angle BAC + 90^\circ + 90^\circ + 140^\circ = 360^\circ$.
    7.  $\angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
    8.  Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $\angle ABC = \angle ACB$.
    9.  $\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$.
    10. $2\angle ABC + 40^\circ = 180^\circ$.
    11. $2\angle ABC = 140^\circ$.
    12. $\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ$.

    Ответ: $\angle BAC = 40^\circ$, $\angle ABC = 70^\circ$, $\angle ACB = 70^\circ$.