Дано:
Решить уравнение:
$$ \frac{x}{3(x^2 - 1)} + \frac{2x}{3(1 - x^4)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.
    *   $3(x^2 - 1) \neq 0 \Rightarrow x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
    *   $3(1 - x^4) \neq 0 \Rightarrow 1 - x^4 \neq 0 \Rightarrow (1 - x^2)(1 + x^2) \neq 0$. Так как $1 + x^2 > 0$ для всех действительных $x$, то $1 - x^2 \neq 0 \Rightarrow (1 - x)(1 + x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
    *   $x(1 + x^2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $1 + x^2 \neq 0$ (что всегда верно для действительных $x$).
    Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$.

2.  Разложим знаменатели на множители:
    *   $3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$
    *   $3(1 - x^4) = 3(1 - x^2)(1 + x^2) = 3(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$
    *   $x(1 + x^2)$

3.  Перепишем уравнение, используя разложенные знаменатели. Обратим внимание, что $x^2 - 1 = -(1 - x^2)$.
    $$ \frac{x}{3(x^2 - 1)} + \frac{2x}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$
    $$ \frac{x}{-3(1 - x^2)} + \frac{2x}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$
    $$ -\frac{x}{3(1 - x^2)} + \frac{2x}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$

4.  Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3(1 - x^2)(1 + x^2)$. Для первой дроби дополнительный множитель будет $1 + x^2$.
    $$ \frac{-x(1 + x^2)}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} + \frac{2x}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$
    $$ \frac{-x - x^3 + 2x}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$
    $$ \frac{x - x^3}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$

5.  Вынесем $x$ из числителя левой части:
    $$ \frac{x(1 - x^2)}{3(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$

6.  Сократим дробь в левой части на $(1 - x^2)$, так как по ОДЗ $x \neq 1$ и $x \neq -1$, значит $1 - x^2 \neq 0$.
    $$ \frac{x}{3(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} $$

7.  Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
    $$ \frac{x}{3(1 + x^2)} - \frac{1}{x(1 + x^2)} = 0 $$
    Общий знаменатель $3x(1 + x^2)$.
    $$ \frac{x \cdot x - 1 \cdot 3}{3x(1 + x^2)} = 0 $$
    $$ \frac{x^2 - 3}{3x(1 + x^2)} = 0 $$

8.  Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
    Числитель: $x^2 - 3 = 0$.
    Знаменатель: $3x(1 + x^2) \neq 0$, что уже учтено в ОДЗ ($x \neq 0$).

9.  Решим уравнение $x^2 - 3 = 0$:
    $$ x^2 = 3 $$
    $$ x = \pm \sqrt{3} $$

10. Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1$).
    *   $x_1 = \sqrt{3}$. Это значение не равно $0, 1, -1$.
    *   $x_2 = -\sqrt{3}$. Это значение не равно $0, 1, -1$.
    Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:
$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$