Дано:
Решить уравнение:
$$ \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = \frac{10}{9} $$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
    $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
    $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
    Также, если $x = 0$, то левая часть уравнения будет $0^2 + 0^2 = 0$, что не равно $10/9$. Следовательно, $x \neq 0$.

2.  Возведем дроби в квадрат:
    $$ \frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{x^2}{(x+1)^2} = \frac{10}{9} $$

3.  Вынесем $x^2$ за скобки:
    $$ x^2 \left( \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2} \right) = \frac{10}{9} $$

4.  Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $((x-1)(x+1))^2 = (x^2-1)^2$:
    $$ x^2 \left( \frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2} \right) = \frac{10}{9} $$

5.  Раскроем квадраты в числителе:
    $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
    $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
    Сумма числителей: $(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + 2 = 2(x^2+1)$.

6.  Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
    $$ x^2 \left( \frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \right) = \frac{10}{9} $$
    $$ \frac{2x^2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} = \frac{10}{9} $$

7.  Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку $x \neq 0$, то $y > 0$. Также, из ОДЗ $x \neq \pm 1$, следовательно $x^2 \neq 1$, то есть $y \neq 1$.
    Уравнение примет вид:
    $$ \frac{2y(y+1)}{(y-1)^2} = \frac{10}{9} $$

8.  Перемножим крест-накрест:
    $9 \cdot 2y(y+1) = 10 \cdot (y-1)^2$
    $18y(y+1) = 10(y^2 - 2y + 1)$
    $18y^2 + 18y = 10y^2 - 20y + 10$

9.  Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
    $18y^2 - 10y^2 + 18y + 20y - 10 = 0$
    $8y^2 + 38y - 10 = 0$

10. Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
    $4y^2 + 19y - 5 = 0$

11. Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью формулы дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
    $D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)$
    $D = 361 + 80$
    $D = 441$
    $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

12. Найдем корни $y_1$ и $y_2$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
    $y_1 = \frac{-19 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$
    $y_2 = \frac{-19 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

13. Вернемся к замене $y = x^2$.
    Случай 1: $y_1 = -5$
    $x^2 = -5$
    Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

    Случай 2: $y_2 = \frac{1}{4}$
    $x^2 = \frac{1}{4}$
    $x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
    $x_1 = \frac{1}{2}$
    $x_2 = -\frac{1}{2}$

14. Проверим полученные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 0$).
    Оба значения $x = 1/2$ и $x = -1/2$ удовлетворяют ОДЗ.

15. Выполним проверку для $x = 1/2$:
    $$ \left(\frac{1/2}{1/2-1}\right)^2 + \left(\frac{1/2}{1/2+1}\right)^2 = \left(\frac{1/2}{-1/2}\right)^2 + \left(\frac{1/2}{3/2}\right)^2 $$
    $$ = (-1)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} $$
    Левая часть равна правой части, решение $x = 1/2$ верно.

16. Выполним проверку для $x = -1/2$:
    $$ \left(\frac{-1/2}{-1/2-1}\right)^2 + \left(\frac{-1/2}{-1/2+1}\right)^2 = \left(\frac{-1/2}{-3/2}\right)^2 + \left(\frac{-1/2}{1/2}\right)^2 $$
    $$ = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9} $$
    Левая часть равна правой части, решение $x = -1/2$ верно.

Ответ:
$x_1 = \frac{1}{2}$
$x_2 = -\frac{1}{2}$