Дано: Решить уравнение $9x^2 + 6x + 1 = (2x - 3)^2$.
Решение:
1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$9x^2 + 6x + 1 = 4x^2 - 12x + 9$
2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 + 12x - 9 = 0$
3. Приведем подобные члены:
$5x^2 + 18x - 8 = 0$
4. Решим квадратное уравнение $5x^2 + 18x - 8 = 0$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484$
5. Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{-18 + 22}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{-18 - 22}{10} = \frac{-40}{10} = -4$
6. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:
Для $x = 0.4$:
$9(0.4)^2 + 6(0.4) + 1 = 9(0.16) + 2.4 + 1 = 1.44 + 2.4 + 1 = 4.84$
$(2(0.4) - 3)^2 = (0.8 - 3)^2 = (-2.2)^2 = 4.84$
Для $x = -4$:
$9(-4)^2 + 6(-4) + 1 = 9(16) - 24 + 1 = 144 - 24 + 1 = 121$
$(2(-4) - 3)^2 = (-8 - 3)^2 = (-11)^2 = 121$
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: $x_1 = 0.4$, $x_2 = -4$