Дано: Вычислить выражение

$$ \frac{20}{33} \cdot \left( 4 \cdot \frac{1}{12} + 3 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) \cdot \frac{11}{12} $$

Решение:

1. Упростим выражение в скобках:
   - $4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
   - $3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
   - Таким образом, выражение в скобках становится:
     $$ \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{4} $$

2. Приведем к общему знаменателю:
   - Общий знаменатель для $\frac{1}{3}$, $2$, и $\frac{1}{4}$ равен 12.
   - $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$
   - $2 = \frac{24}{12}$
   - $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
   - Сложим дроби:
     $$ \frac{4}{12} + \frac{24}{12} + \frac{3}{12} = \frac{31}{12} $$

3. Подставим обратно в исходное выражение:
   $$ \frac{20}{33} \cdot \frac{31}{12} \cdot \frac{11}{12} $$

4. Упростим произведение:
   - Сначала умножим $\frac{31}{12}$ и $\frac{11}{12}$:
     $$ \frac{31 \cdot 11}{12 \cdot 12} = \frac{341}{144} $$

5. Теперь умножим $\frac{20}{33}$ на $\frac{341}{144}$:
   $$ \frac{20 \cdot 341}{33 \cdot 144} $$

6. Упростим дробь:
   - Вычислим числитель: $20 \cdot 341 = 6820$
   - Вычислим знаменатель: $33 \cdot 144 = 4752$
   - Дробь: $\frac{6820}{4752}$

7. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя для сокращения:
   - НОД(6820, 4752) = 4
   - Сократим дробь:
     $$ \frac{6820 \div 4}{4752 \div 4} = \frac{1705}{1188} $$

Ответ: $\frac{1705}{1188}$