П3-1
1.
Дано:
$x_1 = 20 + 2t - 4t^2$
$x_2 = 2 + 2t + 0.5t^2$

Решение:
1. Найдем скорости точек, взяв производные от их координат по времени:
$v_1 = \frac{dx_1}{dt} = 2 - 8t$
$v_2 = \frac{dx_2}{dt} = 2 + t$

2. Приравняем скорости, чтобы найти момент времени, когда они равны:
$2 - 8t = 2 + t$
$-8t - t = 2 - 2$
$-9t = 0$
$t = 0$

3. Найдем ускорения точек, взяв производные от их скоростей по времени:
$a_1 = \frac{dv_1}{dt} = -8$ м/с²
$a_2 = \frac{dv_2}{dt} = 1$ м/с²

4. Найдем скорости и ускорения в момент времени $t = 0$:
$v_1(0) = 2 - 8(0) = 2$ м/с
$v_2(0) = 2 + 0 = 2$ м/с
$a_1 = -8$ м/с²
$a_2 = 1$ м/с²

Ответ: Скорости точек одинаковы в момент времени $t = 0$ с. $v_1 = 2$ м/с, $v_2 = 2$ м/с, $a_1 = -8$ м/с², $a_2 = 1$ м/с².

2.
Дано:
$t = 0.1$ с
$\Delta h = 1$ м

Решение:
1. Пусть $h$ - высота, с которой упало тело. Тогда путь, пройденный телом за время $t$, равен $h$. Путь, пройденный телом за время $(t - 0.1)$, равен $(h - 1)$.
2. Запишем уравнения для высоты:
$h = \frac{gt^2}{2}$
$h - 1 = \frac{g(t - 0.1)^2}{2}$

3. Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$. Подставим во второе уравнение:
$h - 1 = \frac{g(\sqrt{\frac{2h}{g}} - 0.1)^2}{2}$
$2(h - 1) = g(\sqrt{\frac{2h}{g}} - 0.1)^2$
$2h - 2 = g(\frac{2h}{g} - 0.2\sqrt{\frac{2h}{g}} + 0.01)$
$2h - 2 = 2h - 0.2g\sqrt{\frac{2h}{g}} + 0.01g$
$-2 = -0.2g\sqrt{\frac{2h}{g}} + 0.01g$
$0.2g\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2 + 0.01g$
$\sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2}{0.2g} + \frac{0.01g}{0.2g} = \frac{10}{g} + 0.05$
$\frac{2h}{g} = (\frac{10}{g} + 0.05)^2$
$h = \frac{g}{2}(\frac{10}{g} + 0.05)^2$
$h = \frac{9.8}{2}(\frac{10}{9.8} + 0.05)^2 \approx 4.9(1.02 + 0.05)^2 \approx 4.9(1.07)^2 \approx 4.9(1.1449) \approx 5.61$ м

Ответ: $h \approx 5.61$ м

3.
Дано:
$a_{\tau} = 0.5$ м/с²
$R = 3$ м
$v = 2$ м/с

Решение:
1. Найдем нормальное ускорение:
$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$ м/с²

2. Найдем полное ускорение:
$a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2} = \sqrt{0.5^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{0.25 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{0.25 \cdot 9 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{2.25 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{18.25}{9}} \approx \sqrt{2.0278} \approx 1.42$ м/с²

Ответ: $a \approx 1.42$ м/с²

4.
Дано:
$m_1 = 4$ кг (тележка)
$m_2 = 1$ кг (гиря)

Решение:
1. Запишем уравнения движения для тележки и гири:
$m_1a = T$
$m_2a = m_2g - T$

2. Сложим уравнения:
$m_1a + m_2a = m_2g$
$a(m_1 + m_2) = m_2g$
$a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 9.8}{4 + 1} = \frac{9.8}{5} = 1.96$ м/с²

Ответ: $a = 1.96$ м/с²

5.
Дано:
$M = 15$ т = $15000$ кг (масса платформы с орудием)
$\varphi = 60^\circ$
$m = 20$ кг (масса снаряда)
$v = 600$ м/с (скорость снаряда)

Решение:
1. Закон сохранения импульса в горизонтальном направлении:
$0 = Mv_п - mv\cos{\varphi}$
$Mv_п = mv\cos{\varphi}$
$v_п = \frac{mv\cos{\varphi}}{M} = \frac{20 \cdot 600 \cdot \cos{60^\circ}}{15000} = \frac{20 \cdot 600 \cdot 0.5}{15000} = \frac{6000}{15000} = 0.4$ м/с

Ответ: $v_п = 0.4$ м/с

6.
Дано:
$m_1 = 1.6 \cdot 10^{-25}$ кг
$m_2 = 2.4 \cdot 10^{-25}$ кг
$W_{k1} = 18$ нДж = $18 \cdot 10^{-9}$ Дж

Решение:
1. Закон сохранения импульса:
$0 = m_1v_1 + m_2v_2$
$m_1v_1 = -m_2v_2$
$v_1 = -\frac{m_2v_2}{m_1}$

2. Кинетическая энергия первого осколка:
$W_{k1} = \frac{m_1v_1^2}{2}$
$v_1^2 = \frac{2W_{k1}}{m_1}$

3. Кинетическая энергия второго осколка:
$W_{k2} = \frac{m_2v_2^2}{2}$
$v_2 = -\frac{m_1v_1}{m_2}$
$W_{k2} = \frac{m_2}{2}(\frac{m_1v_1}{m_2})^2 = \frac{m_2}{2}\frac{m_1^2v_1^2}{m_2^2} = \frac{m_1^2v_1^2}{2m_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{m_1}{m_2}W_{k1}$
$W_{k2} = \frac{1.6 \cdot 10^{-25}}{2.4 \cdot 10^{-25}} \cdot 18 \cdot 10^{-9} = \frac{1.6}{2.4} \cdot 18 \cdot 10^{-9} = \frac{2}{3} \cdot 18 \cdot 10^{-9} = 12 \cdot 10^{-9}$ Дж = 12 нДж

Ответ: $W_{k2} = 12$ нДж

П3-2
1.
Дано:
$R = 20$ см = 0.2 м
$m = 100$ г = 0.1 кг

Решение:
1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной плоскости кольца: $I = mR^2$.
2. По теореме о параллельных осях (теорема Штейнера), момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр, равен $I = \frac{1}{2}mR^2$.
$I = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (0.2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot 0.04 = 0.002$ кг·м²

Ответ: $I = 0.002$ кг·м²

2.
Дано:
$l = 50$ см = 0.5 м
$m = 400$ г = 0.4 кг
$\varepsilon = 3$ рад/с²

Решение:
1. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню: $I = \frac{1}{12}ml^2$.
$I = \frac{1}{12} \cdot 0.4 \cdot (0.5)^2 = \frac{1}{12} \cdot 0.4 \cdot 0.25 = \frac{0.1}{12} = \frac{1}{120}$ кг·м²

2. Вращающий момент: $M = I\varepsilon$.
$M = \frac{1}{120} \cdot 3 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} = 0.025$ Н·м

Ответ: $M = 0.025$ Н·м

3.
Дано:
Шар скатывается с наклонной плоскости с высоты $h$.

Решение:
1. Закон сохранения энергии: $mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$.
2. Момент инерции шара: $I = \frac{2}{5}mr^2$.
3. Связь между линейной и угловой скоростью: $v = \omega r$, $\omega = \frac{v}{r}$.
4. Подставим в закон сохранения энергии:
$mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{\frac{2}{5}mr^2(\frac{v}{r})^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{2}{10}mv^2 = \frac{5}{10}mv^2 + \frac{2}{10}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$gh = \frac{7}{10}v^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

П3-3
1.
Дано:
$h = 75$ м
$L = 120$ м

Решение:
1. Давление на глубине $h$: $p = \rho g h$, где $\rho$ - плотность воды, $g$ - ускорение свободного падения.
2. Сила давления на плотину: $F = \int_0^h p(x) L dx = \int_0^h \rho g x L dx = \rho g L \int_0^h x dx = \rho g L \frac{x^2}{2} \Big|_0^h = \frac{\rho g L h^2}{2}$.
$F = \frac{1000 \cdot 9.8 \cdot 120 \cdot 75^2}{2} = \frac{1000 \cdot 9.8 \cdot 120 \cdot 5625}{2} = 9.8 \cdot 60 \cdot 5625 \cdot 1000 = 32940 \cdot 10^6$ Н = $32940$ МН

Ответ: $F = 32940$ МН

2.

Невозможно решить задачу, так как не указаны необходимые данные.

3.
Дано:
$h = 4.6$ м

Решение:
1. Скорость вытекания воды из отверстия: $v = \sqrt{2gh}$.
$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 4.6} = \sqrt{90.16} \approx 9.495$ м/с

Ответ: $v \approx 9.495$ м/с