Дано: Задание из варианта 2.

**1. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?**
На координатной прямой число $a$ расположено между 0 и -1, ближе к -1. То есть, $-1 < a < 0$.

Решение:
1. Проверим первое утверждение: $-a > -5$.
Если $-1 <?> -a > 0$, или $0 < -a < 1$.
Так как $0 <?> -5$ является верным.

2. Проверим второе утверждение: $6-a < 0$.
Если $-1 < a < 0$, то $-a$ находится в интервале $(0, 1)$.
Тогда $6-a$ будет находиться в интервале $(6+0, 6+1)$, то есть $(6, 7)$.
Утверждение $6-a < 0$ является неверным, так как $6-a$ положительно.

3. Проверим третье утверждение: $\frac{1}{a} < 0$.
Если $a$ отрицательно ($-1 < a < 0$), то обратное число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным.
Например, если $a = -0.5$, то $\frac{1}{a} = -2$. Если $a = -0.1$, то $\frac{1}{a} = -10$.
Утверждение $\frac{1}{a} < 0$ является верным.

4. Проверим четвертое утверждение: $a-3 > 0$.
Если $-1 < a < 0$, то $a-3$ будет находиться в интервале $(-1-3, 0-3)$, то есть $(-4, -3)$.
Утверждение $a-3 > 0$ является неверным, так как $a-3$ отрицательно.

Поскольку в задании предполагается один верный ответ, и мы получили два верных утверждения (1 и 3), возможно, положение числа $a$ на прямой более точно определено. Число $a$ расположено ближе к -1, чем к 0. Например, $a \approx -0.8$.
Если $a = -0.8$:
1) $-a = 0.8$. $0.8 > -5$ (Верно).
3) $\frac{1}{a} = \frac{1}{-0.8} = -1.25$. $-1.25 < 0$ (Верно).

Пересмотрим варианты. Возможно, есть нюанс в формулировке или изображении. Если $a$ находится между -1 и 0, то оба варианта 1 и 3 верны. Однако, если посмотреть на изображение, $a$ находится ближе к -1.
Если $a$ ближе к -1, например $a = -0.9$.
1) $-a = 0.9$. $0.9 > -5$ (Верно).
3) $\frac{1}{a} = \frac{1}{-0.9} \approx -1.11$. $-1.11 < 0$ (Верно).

Если предположить, что $a$ находится между -1 и 0, то оба варианта 1 и 3 верны. В типичных заданиях такого типа предполагается один правильный ответ. Давайте предположим, что есть ошибка в задании или вариантах ответа, или что $a$ находится в более узком интервале, который делает один из вариантов более подходящим. Однако, исходя из предоставленной информации, оба варианта 1 и 3 верны. Если нужно выбрать один, то часто в таких случаях выбирают тот, который более "сильно" выполняется или является более общим. Но здесь оба выполняются для всего интервала $(-1, 0)$.

Примем, что задание подразумевает выбор одного из вариантов. Часто в таких случаях, если число близко к -1, то его обратное число будет иметь больший модуль.
Если $a$ очень близко к -1, например $a = -0.99$, то $-a = 0.99$, что больше -5. $\frac{1}{a} = \frac{1}{-0.99} \approx -1.01$, что меньше 0.
Если $a$ очень близко к 0, например $a = -0.01$, то $-a = 0.01$, что больше -5. $\frac{1}{a} = \frac{1}{-0.01} = -100$, что меньше 0.

Оба варианта 1 и 3 верны для всего интервала $(-1, 0)$. Если бы нужно было выбрать один, и $a$ было бы, например, $-0.5$, то $-a = 0.5 > -5$ и $1/a = -2 < 0$.
Если бы $a$ было, например, $-2$, то $-a = 2 > -5$ и $1/a = -0.5 < 0$.
Если бы $a$ было, например, $-0.1$, то $-a = 0.1 > -5$ и $1/a = -10 < 0$.

В контексте школьных заданий, если есть два верных ответа, это может быть ошибкой составителя. Однако, если нужно выбрать один, и $a$ расположено между -1 и 0, то оба утверждения верны. Без дополнительной информации или уточнения, сложно выбрать один. Предположим, что вариант 1 является более очевидным, так как он сравнивает $-a$ с отрицательным числом, а $a$ само отрицательно.

Ответ: 1) $-a > -5$

**2. Укажите наибольшее из следующих чисел:**

Решение:
1. Преобразуем числа к одному виду для сравнения.
   1) $\sqrt{22}$. Возведем в квадрат: $22$.
   2) $2\sqrt{6}$. Возведем в квадрат: $(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.
   3) $\sqrt{6}$. Возведем в квадрат: $6$.
   4) $\frac{\sqrt{111}}{\sqrt{3}}$. Это равно $\sqrt{\frac{111}{3}} = \sqrt{37}$. Возведем в квадрат: $37$.

2. Сравним квадраты чисел: $22, 24, 6, 37$.
Наибольший квадрат равен $37$.

3. Следовательно, наибольшее число равно $\sqrt{37}$.

Ответ: 4) $\frac{\sqrt{111}}{\sqrt{3}}$

**3. Решите неравенство $17 - 5x > 23 - 2(x-3)$**

Решение:
1. Раскроем скобки в правой части неравенства:
$17 - 5x > 23 - 2x + 6$

2. Упростим правую часть:
$17 - 5x > 29 - 2x$

3. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую. При переносе через знак неравенства меняем знак на противоположный:
$-5x + 2x > 29 - 17$

4. Выполним вычитание и сложение:
$-3x > 12$

5. Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{12}{-3}$
$x < -4$

6. Запишем решение в виде интервала.
Решение: $x \in (-\infty, -4)$.

Сравним с предложенными вариантами:
1) $(-\infty; -\frac{1}{4})$
2) $(-\infty; -4)$
3) $(4; +\infty)$
4) $(-4; +\infty)$

Наше решение совпадает со вторым вариантом.

Ответ: 2) $(-\infty; -4)$

**4. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.**

Решение:
1. Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=6$, $c=-16$.
2. По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):
   Сумма корней $x_1 + x_2 = -b$.
   Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c$.

3. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = -6$.

4. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = -16$.

Ответ: Сумма корней равна -6, произведение корней равно -16.

**5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.**

Решение:
Рассмотрим каждый график и соответствующую ему формулу.

График А:
График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (0,0) и точку (1, -2). Это означает, что при $x=1$, $y=-2$.
Проверим предложенные формулы:
1) $y = -2$. Это горизонтальная прямая, не проходит через начало координат. Не подходит.
2) $y = x-2$. При $x=0$, $y=-2$. Проходит через точку (0, -2). Не подходит.
3) $y = -2x$. При $x=1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. При $x=0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. График проходит через (0,0) и (1,-2). Подходит.
4) $y = 2$. Это горизонтальная прямая. Не подходит.
Соответствие для графика А: 3) $y = -2x$.

График Б:
График представляет собой прямую линию, проходящую через точку (0, -2) и точку (1, -1). Это означает, что при $x=0$, $y=-2$, и при $x=1$, $y=-1$.
Проверим предложенные формулы:
1) $y = -2$. Это горизонтальная прямая, не проходит через (1, -1). Не подходит.
2) $y = x-2$. При $x=0$, $y = 0-2 = -2$. При $x=1$, $y = 1-2 = -1$. График проходит через (0,-2) и (1,-1). Подходит.
3) $y = -2x$. При $x=0$, $y=0$. Не подходит.
4) $y = 2$. Это горизонтальная прямая. Не подходит.
Соответствие для графика Б: 2) $y = x-2$.

График В:
График представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через $y=2$.
Проверим предложенные формулы:
1) $y = -2$. Это горизонтальная прямая, но проходит через $y=-2$. Не подходит.
2) $y = x-2$. Это наклонная прямая. Не подходит.
3) $y = -2x$. Это наклонная прямая. Не подходит.
4) $y = 2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через $y=2$. Подходит.
Соответствие для графика В: 4) $y = 2$.

Ответ: А - 3, Б - 2, В - 4.

**6. Сократите дробь $\frac{(3x^2)^2 \cdot (-2y)^3}{(6x^3)^2 y^2}$**

Решение:
1. Возведем степени в числителе и знаменателе:
$(3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4$.
$(-2y)^3 = (-2)^3 \cdot y^3 = -8y^3$.
$(6x^3)^2 = 6^2 \cdot (x^3)^2 = 36x^6$.

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{9x^4 \cdot (-8y^3)}{36x^6 y^2}$

3. Перемножим множители в числителе:
$\frac{-72 x^4 y^3}{36 x^6 y^2}$

4. Сократим числовые коэффициенты и степени переменных:
Числовой коэффициент: $\frac{-72}{36} = -2$.
Степень $x$: $\frac{x^4}{x^6} = x^{4-6} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Степень $y$: $\frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y^1 = y$.

5. Объединим сокращенные части:
$-2 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot y = \frac{-2y}{x^2}$.

Ответ: $\frac{-2y}{x^2}$

**7. Решите систему уравнений**
$\begin{cases} x-y = -5 \\ x^2 - 2xy - y^2 = 17 \end{cases}$

Решение:
1. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Удобнее выразить $x$ через $y$:
Из $x-y = -5$, получаем $x = y - 5$.

2. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(y-5)^2 - 2(y-5)y - y^2 = 17$

3. Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$(y^2 - 10y + 25) - 2(y^2 - 5y) - y^2 = 17$
$y^2 - 10y + 25 - 2y^2 + 10y - y^2 = 17$

4. Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - 2y^2 - y^2) + (-10y + 10y) + 25 = 17$
$-2y^2 + 0y + 25 = 17$
$-2y^2 + 25 = 17$

5. Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$-2y^2 = 17 - 25$
$-2y^2 = -8$
$y^2 = \frac{-8}{-2}$
$y^2 = 4$

6. Найдем значения $y$:
$y = \sqrt{4}$ или $y = -\sqrt{4}$
$y = 2$ или $y = -2$.

7. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = y - 5$:
   Если $y = 2$:
   $x = 2 - 5 = -3$.
   Получаем первую пару решений: $(-3, 2)$.

   Если $y = -2$:
   $x = -2 - 5 = -7$.
   Получаем вторую пару решений: $(-7, -2)$.

8. Проверим полученные решения подстановкой во второе уравнение $x^2 - 2xy - y^2 = 17$:
   Для пары $(-3, 2)$:
   $(-3)^2 - 2(-3)(2) - (2)^2 = 9 - (-12) - 4 = 9 + 12 - 4 = 21 - 4 = 17$. Верно.

   Для пары $(-7, -2)$:
   $(-7)^2 - 2(-7)(-2) - (-2)^2 = 49 - 28 - 4 = 21 - 4 = 17$. Верно.

Ответ: Система имеет два решения: $(-3, 2)$ и $(-7, -2)$.

**8. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.**

Дано:
Расстояние туда и обратно = 77 км.
Время в пути обратно на 2 часа меньше, чем против течения.
Скорость течения реки $v_{теч} = 4$ км/ч.

Найти:
Скорость лодки в неподвижной воде $v_{лод}$.

Решение:
1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $v_{лод}$.
2. Скорость лодки по течению реки: $v_{по\_теч} = v_{лод} + v_{теч} = v_{лод} + 4$.
3. Скорость лодки против течения реки: $v_{против\_теч} = v_{лод} - v_{теч} = v_{лод} - 4$.
   Важно: $v_{лод}$ должно быть больше $v_{теч}$, чтобы лодка могла двигаться против течения, то есть $v_{лод} > 4$.

4. Время в пути равно расстоянию, деленному на скорость.
   Время в пути против течения: $t_{против\_теч} = \frac{77}{v_{лод} - 4}$.
   Время в пути по течению (обратный путь): $t_{по\_теч} = \frac{77}{v_{лод} + 4}$.

5. По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения:
$t_{по\_теч} = t_{против\_теч} - 2$.

6. Подставим выражения для времени в это уравнение:
$\frac{77}{v_{лод} + 4} = \frac{77}{v_{лод} - 4} - 2$.

7. Решим полученное уравнение относительно $v_{лод}$. Перенесем дробь с $v_{лод}-4$ влево, а 2 вправо:
$\frac{77}{v_{лод} + 4} - \frac{77}{v_{лод} - 4} = -2$.
Умножим обе части на -1, чтобы сделать правую часть положительной:
$\frac{77}{v_{лод} - 4} - \frac{77}{v_{лод} + 4} = 2$.

8. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v_{лод} - 4)(v_{лод} + 4)$:
$\frac{77(v_{лод} + 4) - 77(v_{лод} - 4)}{(v_{лод} - 4)(v_{лод} + 4)} = 2$.

9. Раскроем скобки в числителе и упростим:
$77v_{лод} + 308 - 77v_{лод} + 308 = 2 \cdot (v_{лод}^2 - 16)$ (используя формулу разности квадратов в знаменателе).
$616 = 2(v_{лод}^2 - 16)$.

10. Разделим обе части на 2:
$308 = v_{лод}^2 - 16$.

11. Найдем $v_{лод}^2$:
$v_{лод}^2 = 308 + 16$
$v_{лод}^2 = 324$.

12. Найдем $v_{лод}$:
$v_{лод} = \sqrt{324}$.
Извлечем квадратный корень. $18^2 = 324$.
$v_{лод} = 18$.

13. Проверим условие $v_{лод} > 4$. $18 > 4$, условие выполнено.

14. Проверим решение, подставив $v_{лод} = 18$ км/ч в исходное уравнение времени:
Скорость против течения: $18 - 4 = 14$ км/ч.
Время против течения: $t_{против\_теч} = \frac{77}{14} = \frac{11}{2} = 5.5$ часа.

Скорость по течению: $18 + 4 = 22$ км/ч.
Время по течению: $t_{по\_теч} = \frac{77}{22} = \frac{7}{2} = 3.5$ часа.

Разница во времени: $t_{против\_теч} - t_{по\_теч} = 5.5 - 3.5 = 2$ часа.
Это соответствует условию задачи.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.