Дано: Решить дифференциальное уравнение $y'' + 4y = 4\sin(3x)$.

Решение:
1. Решаем однородное уравнение $y'' + 4y = 0$.
2. Характеристическое уравнение: $k^2 + 4 = 0$.
3. Корни характеристического уравнения: $k = \pm 2i$.
4. Общее решение однородного уравнения: $y_{общ} = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.
5. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде $y_{част} = A\cos(3x) + B\sin(3x)$.
6. Находим первую производную $y_{част}$: $y'_{част} = -3A\sin(3x) + 3B\cos(3x)$.
7. Находим вторую производную $y_{част}$: $y''_{част} = -9A\cos(3x) - 9B\sin(3x)$.
8. Подставляем $y_{част}$ и $y''_{част}$ в исходное уравнение:
   $-9A\cos(3x) - 9B\sin(3x) + 4(A\cos(3x) + B\sin(3x)) = 4\sin(3x)$.
9. Упрощаем: $(-9A + 4A)\cos(3x) + (-9B + 4B)\sin(3x) = 4\sin(3x)$.
10. Получаем: $-5A\cos(3x) - 5B\sin(3x) = 4\sin(3x)$.
11. Приравниваем коэффициенты при $\cos(3x)$ и $\sin(3x)$:
    $-5A = 0$ и $-5B = 4$.
12. Находим $A$ и $B$: $A = 0$ и $B = -\frac{4}{5}$.
13. Частное решение: $y_{част} = -\frac{4}{5}\sin(3x)$.
14. Общее решение неоднородного уравнения: $y = y_{общ} + y_{част} = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{4}{5}\sin(3x)$.

Ответ: $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{4}{5}\sin(3x)$.