Дано: Параллелограмм на клетчатой бумаге с размером клетки 1x1.

Решение:
1. Определим координаты вершин параллелограмма. Пусть нижняя левая вершина имеет координаты (1; 1). Тогда остальные вершины имеют координаты (3; 2), (7; 2) и (5; 1).
2. Найдем длины диагоналей. Первая диагональ соединяет вершины (1; 1) и (7; 2). Вторая диагональ соединяет вершины (3; 2) и (5; 1).
3. Вычислим длину первой диагонали $d_1$ по формуле расстояния между двумя точками:
$d_1 = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
4. Вычислим длину второй диагонали $d_2$ по формуле расстояния между двумя точками:
$d_2 = \sqrt{(5 - 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
5. Сравним длины диагоналей: $\sqrt{5} < \sqrt{37}$. Следовательно, меньшая диагональ имеет длину $\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$