Дано: Решить уравнение
$$\frac{156}{x - 1} - \frac{156}{x} = 1$$

Решение:
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, то есть x не равен 0 и x - 1 не равен 0. Отсюда получаем, что x не равен 0 и x не равен 1.
2. Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю x(x - 1):
$$\frac{156x - 156(x - 1)}{x(x - 1)} = 1$$
3. Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{156x - 156x + 156}{x(x - 1)} = 1$$
$$\frac{156}{x(x - 1)} = 1$$
4. Умножим обе части уравнения на знаменатель x(x - 1), предполагая, что x не равен 0 и x не равен 1:
156 = x(x - 1)
5. Раскроем скобки в правой части уравнения:
156 = x² - x
6. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
x² - x - 156 = 0
7. Найдем дискриминант квадратного уравнения по формуле:
$$D = b^2 - 4ac$$
Для уравнения x² - x - 156 = 0 коэффициенты равны: a = 1, b = -1, c = -156. Подставим их:
$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625$$
8. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{625}}{2} = \frac{1 + 25}{2} = 13$$
$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{625}}{2} = \frac{1 - 25}{2} = -12$$
9. Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ (x не равен 0 и x не равен 1).
10. Выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение.
Для x = 13:
$$\frac{156}{13 - 1} - \frac{156}{13} = \frac{156}{12} - 12 = 13 - 12 = 1$$
Для x = -12:
$$\frac{156}{-12 - 1} - \frac{156}{-12} = \frac{156}{-13} + 13 = -12 + 13 = 1$$
Оба равенства верны.

Ответ: x₁ = 13, x₂ = -12