Дано: Дифференциальное уравнение $\ln x \cdot \sin^3 y \cdot dx + x \cdot \cos y \cdot dy = 0$
Решение:
1. Разделим переменные, перенеся члены с $dy$ в правую часть уравнения:
$$\ln x \cdot \sin^3 y \cdot dx = -x \cdot \cos y \cdot dy$$
2. Разделим обе части уравнения на $x \cdot \sin^3 y$:
$$\frac{\ln x}{x} dx = -\frac{\cos y}{\sin^3 y} dy$$
3. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{\ln x}{x} dx = -\int \frac{\cos y}{\sin^3 y} dy$$
4. Рассмотрим интеграл в левой части: $\int \frac{\ln x}{x} dx$. Сделаем замену $u = \ln x$, тогда $du = \frac{1}{x} dx$.
$$\int u du = \frac{u^2}{2} + C_1 = \frac{(\ln x)^2}{2} + C_1$$
5. Рассмотрим интеграл в правой части: $-\int \frac{\cos y}{\sin^3 y} dy$. Сделаем замену $v = \sin y$, тогда $dv = \cos y dy$.
$$-\int \frac{1}{v^3} dv = -\int v^{-3} dv = -\frac{v^{-2}}{-2} + C_2 = \frac{1}{2v^2} + C_2 = \frac{1}{2\sin^2 y} + C_2$$
6. Объединим результаты интегрирования:
$$\frac{(\ln x)^2}{2} = \frac{1}{2\sin^2 y} + C$$
где $C = C_2 - C_1$.
7. Умножим обе части уравнения на 2:
$$(\ln x)^2 = \frac{1}{\sin^2 y} + 2C$$
8. Переобозначим константу $2C = C_3$:
$$(\ln x)^2 = \frac{1}{\sin^2 y} + C_3$$
Ответ: $(\ln x)^2 = \frac{1}{\sin^2 y} + C_3$