Дано: Выражение $\frac{6}{3 + \sqrt{7}} + 3\sqrt{7}$.
Решение:
1. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $3 - \sqrt{7}$:
$$\frac{6}{3 + \sqrt{7}} = \frac{6(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})}$$
2. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
$$\frac{6(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{18 - 6\sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{18 - 6\sqrt{7}}{2}$$
3. Сократим дробь на 2:
$$\frac{18 - 6\sqrt{7}}{2} = 9 - 3\sqrt{7}$$
4. Подставим полученное выражение в исходное:
$$9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$$
5. Упростим выражение:
$$9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 9$$
Ответ: 9