Дано:
1.  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: $z = e^y$, $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, $x = 1$, $y = 2$.
    а) С помощью двойного интеграла.
    б) С помощью тройного интеграла.
2.  Вычислить криволинейный интеграл второго рода $I$ по дуге $AB$ в направлении от точки $A(-1, 2)$ к точке $B(1, 2)$:
    $I = \int_{AB} (x^2 - 5xy)dx + (y^2 - 4xy)dy$, где $AB: y = 2x^2$.

Решение:

1.  а) Вычисление объема с помощью двойного интеграла:

Объем тела можно вычислить как двойной интеграл от функции $z = e^y$ по области, ограниченной $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$, $y = 2$.
$$V = \iint_D e^y \,dx\,dy = \int_0^1 \int_0^2 e^y \,dy\,dx$$
1.  Вычисляем внутренний интеграл:
    $\int_0^2 e^y \,dy = [e^y]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1$
2.  Вычисляем внешний интеграл:
    $\int_0^1 (e^2 - 1) \,dx = (e^2 - 1) \int_0^1 dx = (e^2 - 1) [x]_0^1 = (e^2 - 1)(1 - 0) = e^2 - 1$

3.  б) Вычисление объема с помощью тройного интеграла:

Объем тела можно вычислить как тройной интеграл по области, ограниченной $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le e^y$.
$$V = \iiint_W dz\,dy\,dx = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^{e^y} dz\,dy\,dx$$
1.  Вычисляем внутренний интеграл:
    $\int_0^{e^y} dz = [z]_0^{e^y} = e^y - 0 = e^y$
2.  Вычисляем средний интеграл:
    $\int_0^2 e^y \,dy = [e^y]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1$
3.  Вычисляем внешний интеграл:
    $\int_0^1 (e^2 - 1) \,dx = (e^2 - 1) \int_0^1 dx = (e^2 - 1) [x]_0^1 = (e^2 - 1)(1 - 0) = e^2 - 1$

4.  Вычисление криволинейного интеграла:

$I = \int_{AB} (x^2 - 5xy)dx + (y^2 - 4xy)dy$, где $y = 2x^2$, $dy = 4x\,dx$.
Пределы интегрирования для $x$: от -1 до 1.
$$I = \int_{-1}^1 (x^2 - 5x(2x^2))dx + ((2x^2)^2 - 4x(2x^2))(4x\,dx) = \int_{-1}^1 (x^2 - 10x^3)dx + (4x^4 - 8x^3)(4x\,dx)$$
$$I = \int_{-1}^1 (x^2 - 10x^3 + 16x^5 - 32x^4)dx = \int_{-1}^1 x^2 dx - 10\int_{-1}^1 x^3 dx + 16\int_{-1}^1 x^5 dx - 32\int_{-1}^1 x^4 dx$$
Так как $x^3$ и $x^5$ - нечетные функции, их интегралы на симметричном интервале $[-1, 1]$ равны 0.
$$I = \int_{-1}^1 x^2 dx - 32\int_{-1}^1 x^4 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 - 32\left[\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{-1}{3}\right) - 32\left(\frac{1}{5} - \frac{-1}{5}\right) = \frac{2}{3} - 32\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{3} - \frac{64}{5}$$
$$I = \frac{10 - 192}{15} = -\frac{182}{15}$$

Ответ:
1.  а) $V = e^2 - 1$
    б) $V = e^2 - 1$
2.  $I = -\frac{182}{15}$