Задание 8:
Дано: График производной функции $y = f'(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}, x_{11}$.
Необходимо найти, сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции $f(x)$.

Решение:
1. Функция $f(x)$ убывает там, где её производная $f'(x)$ отрицательна.
2. На графике $f'(x)$ нужно найти точки, в которых график расположен ниже оси $x$.
3. Анализируем график:
    *   $f'(x) < 0$ на интервалах $(x_1, x_2)$, $(x_3, x_4)$, $(x_5, x_6)$, $(x_7, x_8)$, $(x_9, x_{10})$.
4.  Точки, в которых $f'(x) < 0$: $x_2, x_4, x_6, x_8, x_{10}$.
5.  Количество точек: 5.

Ответ: 5

Задание 9:
Дано: $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$, $\omega = 15$ град/мин, $\beta = 6$ град/мин$^2$, $\varphi = 2250$ градусов.
Найти: $t$ в минутах.

Решение:
1. Подставляем известные значения в формулу:
$$2250 = 15t + \frac{6t^2}{2}$$
2. Упрощаем уравнение:
$$2250 = 15t + 3t^2$$
3. Делим обе части уравнения на 3:
$$750 = 5t + t^2$$
4. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$t^2 + 5t - 750 = 0$$
5. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-750) = 25 + 3000 = 3025$$
6. Находим корни уравнения:
$$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{3025}}{2} = \frac{-5 \pm 55}{2}$$
7. Находим два возможных значения для $t$:
$$t_1 = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$$
$$t_2 = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$$
8. Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение.

Ответ: 25

Задание 10:
Дано: Катя и Настя вместе пропалывают грядку за 24 минуты. Настя одна пропалывает грядку за 42 минуты.
Найти: Время, за которое Катя одна пропалывает грядку.

Решение:
1. Пусть $x$ - время, за которое Катя пропалывает грядку одна.
2. Производительность Кати: $\frac{1}{x}$ грядки в минуту.
3. Производительность Насти: $\frac{1}{42}$ грядки в минуту.
4. Производительность Кати и Насти вместе: $\frac{1}{24}$ грядки в минуту.
5. Составляем уравнение:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{42} = \frac{1}{24}$$
6. Умножаем обе части уравнения на $24 \cdot 42 \cdot x$:
$$24 \cdot 42 + 24x = 42x$$
7. Упрощаем уравнение:
$$1008 + 24x = 42x$$
8. Переносим члены с $x$ в одну сторону:
$$1008 = 42x - 24x$$
$$1008 = 18x$$
9. Находим $x$:
$$x = \frac{1008}{18} = 56$$

Ответ: 56

Задание 11:
Дано: График функции $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Найти: $f(-9)$.

Решение:
1. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке (0, 3).
2. Также из графика видно, что парабола проходит через точку (3, 0).
3. Так как вершина параболы находится в точке (0, 3), то $f(x) = ax^2 + 3$.
4. Подставляем точку (3, 0) в уравнение:
$$0 = a(3)^2 + 3$$
$$0 = 9a + 3$$
$$9a = -3$$
$$a = -\frac{1}{3}$$
5. Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3$.
6. Находим $f(-9)$:
$$f(-9) = -\frac{1}{3}(-9)^2 + 3 = -\frac{1}{3}(81) + 3 = -27 + 3 = -24$$

Ответ: -24

Задание 12:
Дано: Функция $y = (x+5) \cdot e^{-x-4}$.
Найти: Точку минимума функции.

Решение:
1. Находим производную функции $y$ по $x$:
$$y' = (x+5)' \cdot e^{-x-4} + (x+5) \cdot (e^{-x-4})'$$
$$y' = 1 \cdot e^{-x-4} + (x+5) \cdot e^{-x-4} \cdot (-1)$$
$$y' = e^{-x-4} - (x+5)e^{-x-4}$$
$$y' = e^{-x-4}(1 - (x+5))$$
$$y' = e^{-x-4}(1 - x - 5)$$
$$y' = e^{-x-4}(-x - 4)$$
2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$$e^{-x-4}(-x - 4) = 0$$
3. Так как $e^{-x-4}$ всегда больше нуля, то:
$$-x - 4 = 0$$
$$x = -4$$
4. Определим знак производной слева и справа от точки $x = -4$:
    *   При $x <?> 0$.
    *   При $x > -4$, например $x = -3$, $y' = e^{-(-3)-4}(-(-3)-4) = e^{-1}(3-4) = -e^{-1} < 0$.
5.  Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = -4$, то это точка максимума. Но в условии просят найти точку минимума. Проверим поведение функции на бесконечностях.
    *   $\lim_{x \to -\infty} (x+5)e^{-x-4} = -\infty \cdot \infty = -\infty$
    *   $\lim_{x \to \infty} (x+5)e^{-x-4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{e^{x+4}} = 0$ (по правилу Лопиталя)
6.  Так как функция стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$, то минимума у функции не существует. Но, возможно, в условии опечатка, и нужно найти точку максимума. Тогда ответом будет $x = -4$.

Ответ: -4 (если требуется точка максимума)