1.
Дано: О - центр окружности, $\angle ABC = 28^\circ$.
Решение:
1. $\angle AOC$ - центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. $\angle ABC$ - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AC$.
2. По теореме о вписанном и центральном углах, опирающихся на одну и ту же дугу, центральный угол в два раза больше вписанного.
3. $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$.
Ответ: $\angle AOC = 56^\circ$.

2.
Дано: CD - касательная к окружности с центром O, D - точка касания, радиус окружности равен 6 см, $\angle DCO = 30^\circ$.
Решение:
1. Так как CD - касательная, то радиус OD перпендикулярен касательной CD в точке касания D. Следовательно, $\angle ODC = 90^\circ$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В этом треугольнике $\angle ODC = 90^\circ$, $\angle DCO = 30^\circ$, OD = 6 см.
3. Найдём OC. $sin(\angle DCO) = \frac{OD}{OC}$.
4. $OC = \frac{OD}{sin(\angle DCO)} = \frac{6}{sin(30^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12$ см.
Ответ: OC = 12 см.

3.
Дано: В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что $\angle BAC = \angle BAD$.
Решение:
1. $\angle BAC = \angle BAD$ (по условию).
2. Умножим обе части равенства на 2: $2\angle BAC = 2\angle BAD$.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Дуга $BC$ стягивается углом $\angle BAC$, а дуга $BD$ стягивается углом $\angle BAD$.
5. Так как $\angle BAC = \angle BAD$, то дуги $BC$ и $BD$ равны.
6. Если дуги равны, то и стягивающие их хорды равны. Следовательно, $AC = AD$.
Что и требовалось доказать.

4. (Номер задачи указан как 5, но это следующая задача в списке)
Дано: Окружность и две точки вне её.
Решение:
1. Проведём прямую через две заданные точки.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки. Все точки на этом перпендикуляре равноудалены от заданных точек.
3. Серединный перпендикуляр может пересекать окружность в двух точках, в одной точке (касаться окружности) или не пересекать её вовсе.
4. Если серединный перпендикуляр пересекает окружность в двух точках, то задача имеет два решения. Если серединный перпендикуляр касается окружности, то задача имеет одно решение. Если серединный перпендикуляр не пересекает окружность, то задача не имеет решений.
Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.