Дано:
Уравнение: $- \frac{36}{y^2} + y^2 = 13$

Решение:
1.  Определим область допустимых значений для переменной $y$. Так как $y^2$ находится в знаменателе дроби, $y^2$ не может быть равно нулю. Следовательно, $y \neq 0$.

2.  Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = y^2$.
    Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, то $t \ge 0$. Учитывая, что $y \neq 0$, получаем $t > 0$.
    Подставляем $t$ в исходное уравнение:
    $$-\frac{36}{t} + t = 13$$

3.  Приведем полученное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения. Для этого умножим все члены уравнения на $t$ (мы знаем, что $t \neq 0$):
    $$-36 + t^2 = 13t$$
    Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:
    $$t^2 - 13t - 36 = 0$$

4.  Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
    В нашем уравнении $a = 1$, $b = -13$, $c = -36$.
    Вычислим дискриминант $D$:
    $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)$$
    $$D = 169 + 144$$
    $$D = 313$$

5.  Найдем корни $t_1$ и $t_2$:
    $$t = \frac{-(-13) \pm \sqrt{313}}{2 \cdot 1}$$
    $$t_1 = \frac{13 + \sqrt{313}}{2}$$
    $$t_2 = \frac{13 - \sqrt{313}}{2}$$

6.  Проверим полученные значения $t$ на соответствие условию $t > 0$.
    Для $t_1 = \frac{13 + \sqrt{313}}{2}$: Так как $\sqrt{313} > 0$, то $13 + \sqrt{313} > 0$, и, следовательно, $t_1 > 0$. Это значение подходит.
    Для $t_2 = \frac{13 - \sqrt{313}}{2}$: Мы знаем, что $17^2 = 289$ и $18^2 = 324$. Значит, $17 < \sqrt{313} < 18$.
    Следовательно, $13 - \sqrt{313}$ будет отрицательным числом ($13 - \text{число между 17 и 18} < 0$).
    Поэтому $t_2 < 0$. Это значение не подходит, так как $t = y^2$ не может быть отрицательным.

7.  Возвращаемся к исходной переменной $y$, используя подходящее значение $t_1$:
    $y^2 = t_1$
    $$y^2 = \frac{13 + \sqrt{313}}{2}$$
    Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
    $$y = \pm \sqrt{\frac{13 + \sqrt{313}}{2}}$$

8.  Проверка:
    Подставим $y^2 = \frac{13 + \sqrt{313}}{2}$ в исходное уравнение:
    $$-\frac{36}{y^2} + y^2 = 13$$
    $$-\frac{36}{\frac{13 + \sqrt{313}}{2}} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$-\frac{72}{13 + \sqrt{313}} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    Умножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное выражение $13 - \sqrt{313}$:
    $$-\frac{72(13 - \sqrt{313})}{(13 + \sqrt{313})(13 - \sqrt{313})} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$-\frac{72(13 - \sqrt{313})}{13^2 - (\sqrt{313})^2} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$-\frac{72(13 - \sqrt{313})}{169 - 313} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$-\frac{72(13 - \sqrt{313})}{-144} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$\frac{13 - \sqrt{313}}{2} + \frac{13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$\frac{13 - \sqrt{313} + 13 + \sqrt{313}}{2} = 13$$
    $$\frac{26}{2} = 13$$
    $$13 = 13$$
    Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ:
$$y = \pm \sqrt{\frac{13 + \sqrt{313}}{2}}$$