Дано:
Задача 90: В урне $n$ шаров. Опущен белый шар. Наудачу извлечен один шар.
Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Задача 92: Пять винтовок, три с оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом 0.95, без оптического прицела - 0.7. Найти вероятность поражения мишени при случайном выстреле.

Задача 94: В первой урне 10 шаров, из них 8 белых. Во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, затем из этих двух шаров наудачу взяли один шар. Найти вероятность, что взят белый шар.

Решение:
Задача 90:
1. Пусть $B_i$ - гипотеза, что в урне первоначально было $i$ белых шаров, где $i = 0, 1, 2, ..., n$.
2. Так как все предположения о первоначальном составе шаров равновозможны, то $P(B_i) = \frac{1}{n+1}$ для всех $i$.
3. После добавления белого шара в урне становится $n+1$ шар.
4. Пусть $A$ - событие, что извлеченный шар оказался белым.
5. Условная вероятность $P(A|B_i) = \frac{i+1}{n+1}$.
6. Используем формулу полной вероятности:
$$P(A) = \sum_{i=0}^{n} P(A|B_i)P(B_i) = \sum_{i=0}^{n} \frac{i+1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2} \sum_{i=0}^{n} (i+1)$$
7. $\sum_{i=0}^{n} (i+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
8. $P(A) = \frac{(n+1)(n+2)}{2(n+1)^2} = \frac{n+2}{2(n+1)}$.

Задача 92:
1. Пусть $A$ - событие, что мишень поражена.
2. Пусть $B_1$ - событие, что взята винтовка с оптическим прицелом. $P(B_1) = \frac{3}{5}$.
3. Пусть $B_2$ - событие, что взята винтовка без оптического прицела. $P(B_2) = \frac{2}{5}$.
4. $P(A|B_1) = 0.95$ - вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом.
5. $P(A|B_2) = 0.7$ - вероятность поражения мишени из винтовки без оптического прицела.
6. Используем формулу полной вероятности:
$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) = 0.95 \cdot \frac{3}{5} + 0.7 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2.85 + 1.4}{5} = \frac{4.25}{5} = 0.85$.

Задача 94:
1. Пусть $A$ - событие, что взят белый шар.
2. Пусть $B_1$ - событие, что из первой урны извлекли белый шар. $P(B_1) = \frac{8}{10} = 0.8$.
3. Пусть $B_2$ - событие, что из второй урны извлекли белый шар. $P(B_2) = \frac{4}{20} = 0.2$.
4. Пусть $C_1$ - событие, что из первой урны извлекли не белый шар. $P(C_1) = 1 - P(B_1) = 1 - 0.8 = 0.2$.
5. Пусть $C_2$ - событие, что из второй урны извлекли не белый шар. $P(C_2) = 1 - P(B_2) = 1 - 0.2 = 0.8$.
6. Рассмотрим 4 возможных случая:
    *   Из первой урны извлекли белый шар, из второй урны извлекли белый шар. Вероятность этого $P(B_1 \cap B_2) = P(B_1)P(B_2) = 0.8 \cdot 0.2 = 0.16$. Вероятность взять белый шар в этом случае равна 1.
    *   Из первой урны извлекли белый шар, из второй урны извлекли не белый шар. Вероятность этого $P(B_1 \cap C_2) = P(B_1)P(C_2) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$. Вероятность взять белый шар в этом случае равна $\frac{1}{2} = 0.5$.
    *   Из первой урны извлекли не белый шар, из второй урны извлекли белый шар. Вероятность этого $P(C_1 \cap B_2) = P(C_1)P(B_2) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04$. Вероятность взять белый шар в этом случае равна $\frac{1}{2} = 0.5$.
    *   Из первой урны извлекли не белый шар, из второй урны извлекли не белый шар. Вероятность этого $P(C_1 \cap C_2) = P(C_1)P(C_2) = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16$. Вероятность взять белый шар в этом случае равна 0.
7. $P(A) = 1 \cdot 0.16 + 0.5 \cdot 0.64 + 0.5 \cdot 0.04 + 0 \cdot 0.16 = 0.16 + 0.32 + 0.02 + 0 = 0.5$.

Ответ:
Задача 90: $P(A) = \frac{n+2}{2(n+1)}$.
Задача 92: $P(A) = 0.85$.
Задача 94: $P(A) = 0.5$.