Дано:
Расстояние по течению реки: $S = 36$ км.
Расстояние против течения реки: $S = 36$ км.
Общее время в пути: $T_{общ} = 5$ часов.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 3$ км/ч.

Найти:
Скорость лодки в неподвижной воде: $v_{лод}$.

Решение:
1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $v_{лод}$ (км/ч).
2. Скорость лодки по течению реки будет равна сумме скорости лодки и скорости течения: $v_{по теч} = v_{лод} + v_{теч}$.
3. Скорость лодки против течения реки будет равна разности скорости лодки и скорости течения: $v_{против теч} = v_{лод} - v_{теч}$. Важно, чтобы $v_{лод} > v_{теч}$, иначе лодка не сможет двигаться против течения.
4. Время, затраченное на путь по течению, равно расстоянию, деленному на скорость по течению: $t_{по теч} = \frac{S}{v_{по теч}} = \frac{36}{v_{лод} + 3}$.
5. Время, затраченное на путь против течения, равно расстоянию, деленному на скорость против течения: $t_{против теч} = \frac{S}{v_{против теч}} = \frac{36}{v_{лод} - 3}$.
6. Общее время в пути равно сумме времени по течению и времени против течения: $T_{общ} = t_{по теч} + t_{против теч}$.
7. Подставим известные значения в уравнение: $5 = \frac{36}{v_{лод} + 3} + \frac{36}{v_{лод} - 3}$.
8. Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю:
$$5 = \frac{36(v_{лод} - 3) + 36(v_{лод} + 3)}{(v_{лод} + 3)(v_{лод} - 3)}$$
9. Упростим числитель:
$$36(v_{лод} - 3) + 36(v_{лод} + 3) = 36v_{лод} - 108 + 36v_{лод} + 108 = 72v_{лод}$$
10. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$$(v_{лод} + 3)(v_{лод} - 3) = v_{лод}^2 - 3^2 = v_{лод}^2 - 9$$
11. Теперь уравнение выглядит так:
$$5 = \frac{72v_{лод}}{v_{лод}^2 - 9}$$
12. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(v_{лод}^2 - 9)$, учитывая, что $v_{лод}^2 - 9 \neq 0$ (так как $v_{лод} > 3$):
$$5(v_{лод}^2 - 9) = 72v_{лод}$$
13. Раскроем скобки:
$$5v_{лод}^2 - 45 = 72v_{лод}$$
14. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$5v_{лод}^2 - 72v_{лод} - 45 = 0$$
15. Решим полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=5$, $b=-72$, $c=-45$.
$$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45)$$
$$D = 5184 + 900$$
$$D = 6084$$
16. Найдем квадратный корень из дискриминанта:
$$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$$
17. Найдем корни квадратного уравнения по формуле $v_{лод} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$$v_{лод,1} = \frac{-(-72) + 78}{2 \cdot 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15$$
$$v_{лод,2} = \frac{-(-72) - 78}{2 \cdot 5} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$
18. Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень $v_{лод,2} = -0.6$ км/ч не имеет физического смысла в данной задаче.
19. Проверим первый корень $v_{лод} = 15$ км/ч. Условие $v_{лод} > v_{теч}$ выполняется, так как $15 > 3$.
20. Рассчитаем время в пути с найденной скоростью:
Скорость по течению: $v_{по теч} = 15 + 3 = 18$ км/ч.
Время по течению: $t_{по теч} = \frac{36}{18} = 2$ часа.
Скорость против течения: $v_{против теч} = 15 - 3 = 12$ км/ч.
Время против течения: $t_{против теч} = \frac{36}{12} = 3$ часа.
Общее время: $T_{общ} = t_{по теч} + t_{против теч} = 2 + 3 = 5$ часов.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.