Дано: Параллелограмм $ABCD$, $\angle BAD = 60^\circ$, $AM$ - биссектриса $\angle BAD$, $AM$ пересекает $BC$ в точке $M$, $AM \perp DM$, $AB = 8$.
Решение:
1. Так как $AM$ - биссектриса $\angle BAD$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
2. В треугольнике $AMD$ $\angle AMD = 90^\circ$, следовательно, $\angle ADM = 180^\circ - \angle AMD - \angle MAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. В параллелограмме $ABCD$ $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
4. Тогда $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
5. В треугольнике $CDM$ $\angle DMC = 180^\circ - \angle MDC - \angle MCD = 180^\circ - 60^\circ - \angle MCD$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$, следовательно, $\angle MCD = 60^\circ$. Тогда $\angle DMC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
6. Так как в треугольнике $CDM$ все углы равны $60^\circ$, то треугольник $CDM$ - равносторонний, следовательно, $CD = CM = DM$.
7. Рассмотрим треугольник $AMD$. Так как $\angle AMD = 90^\circ$, то $\angle MAD = 30^\circ$ и $\angle ADM = 60^\circ$. Тогда $DM = \frac{AM}{2}$.
8. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Следовательно, $\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ$.
9. Тогда в треугольнике $ABM$ $\angle BAM = \angle BMA = 30^\circ$, следовательно, треугольник $ABM$ - равнобедренный, и $AB = BM = 8$.
10. $BC = BM + MC = 8 + MC$. Так как $BC = AD$ и $MC = CD$, то $AD = 8 + CD$.
11. В параллелограмме $ABCD$ $AB = CD = 8$. Тогда $AD = 8 + 8 = 16$.
12. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $P = 2(AB + AD) = 2(8 + 16) = 2 \cdot 24 = 48$.
Ответ: 48.