Дано:
Дифференциальное уравнение $y'' + y' - 6y = 0$ с начальными условиями $y(-1) = 3$, $y'(-1) = -2$.

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 + k - 6 = 0$$
2. Решим характеристическое уравнение:
$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$
$$k_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
$$k_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
3. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x}$$
4. Найдем первую производную общего решения:
$$y'(x) = 2C_1e^{2x} - 3C_2e^{-3x}$$
5. Используем начальные условия для определения констант $C_1$ и $C_2$:
$$y(-1) = C_1e^{-2} + C_2e^{3} = 3$$
$$y'(-1) = 2C_1e^{-2} - 3C_2e^{3} = -2$$
6. Решим систему уравнений:
$$C_1e^{-2} + C_2e^{3} = 3$$
$$2C_1e^{-2} - 3C_2e^{3} = -2$$
Умножим первое уравнение на 2:
$$2C_1e^{-2} + 2C_2e^{3} = 6$$
Вычтем из полученного уравнения второе уравнение:
$$5C_2e^{3} = 8$$
$$C_2 = \frac{8}{5}e^{-3}$$
Подставим $C_2$ в первое уравнение:
$$C_1e^{-2} + \frac{8}{5}e^{-3}e^{3} = 3$$
$$C_1e^{-2} = 3 - \frac{8}{5} = \frac{15 - 8}{5} = \frac{7}{5}$$
$$C_1 = \frac{7}{5}e^{2}$$
7. Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = \frac{7}{5}e^{2}e^{2x} + \frac{8}{5}e^{-3}e^{-3x} = \frac{7}{5}e^{2x+2} + \frac{8}{5}e^{-3x-3}$$

Ответ:
$$y(x) = \frac{7}{5}e^{2x+2} + \frac{8}{5}e^{-3x-3}$$