Дано: Вычислить определённый интеграл $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx$.
Решение:
1. Находим первообразную функции $f(x) = x^2 + 1$:
$$F(x) = \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C$$
2. Вычисляем значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
$$F(1) = \frac{1^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$
$$F(0) = \frac{0^3}{3} + 0 = 0$$
3. Вычисляем определённый интеграл как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:
$$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$$
Ответ: $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \frac{4}{3}$