Дано:
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение:

а) Пусть в школе №1 было $n_1$ учеников, а в школе №2 - $n_2$ учеников. Тогда $n_1 + n_2 = 9$, $n_1 \ge 2$ и $n_2 \ge 2$.
Пусть $S_1$ - сумма баллов в школе №1, а $S_2$ - сумма баллов в школе №2. Тогда средний балл в школе №1 равен $\frac{S_1}{n_1}$, а в школе №2 - $\frac{S_2}{n_2}$. По условию, $\frac{S_1}{n_1}$ и $\frac{S_2}{n_2}$ - целые числа.
Пусть ученик с баллом $x$ перешел из школы №1 в школу №2. Тогда в школе №1 стало $n_1 - 1$ учеников, а сумма баллов стала $S_1 - x$. В школе №2 стало $n_2 + 1$ учеников, а сумма баллов стала $S_2 + x$.
Новый средний балл в школе №1 равен $\frac{S_1 - x}{n_1 - 1}$, и он уменьшился в 10 раз, то есть $\frac{S_1 - x}{n_1 - 1} = \frac{S_1}{10n_1}$.
Выразим $x$: $10n_1(S_1 - x) = S_1(n_1 - 1)$, $10n_1 S_1 - 10n_1 x = n_1 S_1 - S_1$, $9n_1 S_1 + S_1 = 10n_1 x$, $x = \frac{(9n_1 + 1)S_1}{10n_1}$.
Так как $x$ - натуральное число, то $(9n_1 + 1)S_1$ должно делиться на $10n_1$.
Пусть $n_1 = 5$. Тогда $x = \frac{46S_1}{50} = \frac{23S_1}{25}$. Чтобы $x$ было целым, $S_1$ должно делиться на 25. Пусть $S_1 = 25$. Тогда средний балл в школе №1 равен $\frac{25}{5} = 5$. После перехода ученика средний балл должен стать $\frac{5}{10} = 0.5$.
$x = \frac{23 \cdot 25}{25} = 23$. Новый средний балл в школе №1 равен $\frac{25 - 23}{5 - 1} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Итак, $n_1 = 5$, $n_2 = 4$, $S_1 = 25$, $S_2$ делится на 4. Пусть $S_2 = 4$. Тогда средний балл в школе №2 равен 1.
После перехода ученика в школе №1 4 ученика и сумма баллов 2, средний балл 0.5. В школе №2 5 учеников и сумма баллов 27, средний балл 5.4.
Пусть $S_2 = 8$. Тогда средний балл в школе №2 равен 2. После перехода ученика в школе №2 5 учеников и сумма баллов 31, средний балл 6.2.
Возьмем $n_1 = 5$, $S_1 = 50$. Тогда средний балл в школе №1 равен 10. $x = \frac{23 \cdot 50}{25} = 46$. Новый средний балл в школе №1 равен $\frac{50 - 46}{4} = \frac{4}{4} = 1$. То есть средний балл уменьшился в 10 раз.
$n_2 = 4$. Пусть $S_2 = 4$. Тогда средний балл в школе №2 равен 1. После перехода ученика в школе №2 5 учеников и сумма баллов 50. Средний балл 10.8.
Ответ: да, мог.

б) Пусть средний балл в школе №1 был $a$, а в школе №2 был $b$. После перехода ученика с баллом $x$ средний балл в школе №1 стал $0.9a$, а в школе №2 стал $0.9b$.
$a$ и $b$ - целые числа.
$\frac{S_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a$, $\frac{S_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9b$.
$S_1 = n_1 a$, $S_2 = n_2 b$.
$\frac{n_1 a - x}{n_1 - 1} = 0.9a$, $\frac{n_2 b + x}{n_2 + 1} = 0.9b$.
$n_1 a - x = 0.9a(n_1 - 1)$, $n_2 b + x = 0.9b(n_2 + 1)$.
$n_1 a - x = 0.9n_1 a - 0.9a$, $n_2 b + x = 0.9n_2 b + 0.9b$.
$x = n_1 a - 0.9n_1 a + 0.9a = 0.1n_1 a + 0.9a = a(0.1n_1 + 0.9)$.
$x = 0.9b - n_2 b + 0.9n_2 b = 0.9b - 0.1n_2 b = b(0.9 - 0.1n_2)$.
$a(0.1n_1 + 0.9) = b(0.9 - 0.1n_2)$.
$a(n_1 + 9) = b(9 - n_2)$.
$b = 7$. $a(n_1 + 9) = 7(9 - n_2)$. $n_1 + n_2 = 9$. $n_2 = 9 - n_1$.
$a(n_1 + 9) = 7(9 - (9 - n_1)) = 7n_1$.
$a = \frac{7n_1}{n_1 + 9}$.
Если $n_1 = 3$, то $a = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$ - не целое.
Если $n_1 = 4$, то $a = \frac{28}{13}$ - не целое.
Если $n_1 = 5$, то $a = \frac{35}{14} = \frac{5}{2}$ - не целое.
Если $n_1 = 6$, то $a = \frac{42}{15} = \frac{14}{5}$ - не целое.
Если $n_1 = 7$, то $a = \frac{49}{16}$ - не целое.
Ответ: нет, не мог.

в) $a(n_1 + 9) = b(9 - n_2)$. $n_1 + n_2 = 9$. $n_2 = 9 - n_1$.
$a(n_1 + 9) = b(9 - (9 - n_1)) = bn_1$.
$b = \frac{a(n_1 + 9)}{n_1} = a(1 + \frac{9}{n_1})$.
Чтобы $b$ было целым, $n_1$ должно быть делителем 9. $n_1$ может быть 1, 3, 9. Но $n_1 \ge 2$.
Если $n_1 = 3$, то $b = a(1 + \frac{9}{3}) = 4a$. Наименьшее значение $a = 1$, тогда $b = 4$.
Если $n_1 = 9$, то $b = a(1 + \frac{9}{9}) = 2a$. Наименьшее значение $a = 1$, тогда $b = 2$.
Но $n_1 + n_2 = 9$, $n_2 \ge 2$. Если $n_1 = 9$, то $n_2 = 0$, что противоречит условию.
Значит, $n_1 = 3$, $n_2 = 6$. $a = 1$, $b = 4$.
$x = a(0.1n_1 + 0.9) = 1(0.1 \cdot 3 + 0.9) = 1.2$ - не целое.
$x = b(0.9 - 0.1n_2) = 4(0.9 - 0.1 \cdot 6) = 4(0.9 - 0.6) = 4 \cdot 0.3 = 1.2$ - не целое.
Если $a = 2$, то $b = 8$. $x = 2(0.1 \cdot 3 + 0.9) = 2(0.3 + 0.9) = 2 \cdot 1.2 = 2.4$ - не целое.
$x = 8(0.9 - 0.1 \cdot 6) = 8(0.9 - 0.6) = 8 \cdot 0.3 = 2.4$ - не целое.
$b = a(1 + \frac{9}{n_1})$. $n_1$ - делитель 9, $n_1 \ge 2$. $n_1 = 3$ или $n_1 = 9$.
$n_1 + n_2 = 9$, $n_2 \ge 2$.
Если $n_1 = 3$, то $n_2 = 6$. $b = a(1 + \frac{9}{3}) = 4a$. $a = \frac{bn_1}{n_1 + 9} = \frac{3b}{12} = \frac{b}{4}$.
$x = a(0.1n_1 + 0.9) = \frac{b}{4}(0.1 \cdot 3 + 0.9) = \frac{b}{4}(0.3 + 0.9) = \frac{1.2b}{4} = 0.3b$.
$x = b(0.9 - 0.1n_2) = b(0.9 - 0.1 \cdot 6) = b(0.9 - 0.6) = 0.3b$.
Чтобы $x$ было целым, $b$ должно делиться на 10. Наименьшее $b = 10$. Тогда $a = \frac{10}{4} = 2.5$ - не целое.
Если $b = 20$, то $a = 5$. $x = 0.3 \cdot 20 = 6$.
$\frac{S_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a$. $\frac{S_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9b$.
$S_1 = n_1 a = 3 \cdot 5 = 15$. $S_2 = n_2 b = 6 \cdot 20 = 120$.
$\frac{15 - 6}{3 - 1} = \frac{9}{2} = 4.5 = 0.9 \cdot 5$. $\frac{120 + 6}{6 + 1} = \frac{126}{7} = 18 = 0.9 \cdot 20$.
Ответ: 20.