Задание №5
Дано:
Угол $ACB = 34°$.
$CA$ - касательная к окружности в точке $A$.
Градусная мера дуги $AB$, не содержащей точку $E$, равна $124°$.
Найти: угол $ABE$.

Решение:
1. Угол $ABE$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AE$.
2. Угол $ABC$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$.
3. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. Значит, угол $CAB$ равен половине дуги $AB$, то есть $124° / 2 = 62°$.
4. Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180°$.
Следовательно, угол $ABC = 180° - ACB - CAB = 180° - 34° - 62° = 84°$.
5. Угол $AEB$ - вписанный, опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $E$. Значит, угол $AEB = 124° / 2 = 62°$.
6. Четырехугольник $ABCE$ - вписанный в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180°$.
Следовательно, угол $AEB + ACB = 180°$, то есть $62° + 34° = 96° \neq 180°$. Значит, точка $E$ лежит на другой дуге $AB$.
7. Угол $ABE$ - искомый угол. Угол $ABC = 84°$.
8. Угол $CBE$ опирается на дугу $CE$. Угол $CAE$ опирается на дугу $CE$. Значит, угол $CBE = CAE$.
9. Угол $CAE = 180° - CAB - BAE$. Угол $CAB = 62°$.
10. Дуга $AB$ равна $124°$. Вся окружность $360°$. Дуга $AEB = 360° - 124° = 236°$.
11. Угол $ABE$ опирается на дугу $AE$, которая равна половине дуги $AE$, то есть $AE = \frac{1}{2} \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot (360° - 124°) = \frac{1}{2} \cdot 236° = 118°$.
12. Угол $ABE$ опирается на дугу $AE$, не содержащую точку $B$.
13. Угол $ABE = \frac{1}{2} \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot (360° - 124°) = \frac{1}{2} \cdot 236° = 118°$.
14. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
15. Угол $ABE = ABC - CBE$.
16. Угол $ABC = 84°$.
17. Угол $BAE = \frac{1}{2} \cdot BE$.
18. Угол $ABE = \frac{1}{2} \cdot AE$.
19. Угол $ABE = \frac{1}{2} \cdot 124° = 62°$.
20. Угол $ABE = 180° - 62° - 34° = 84°$.
21. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
22. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
23. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
24. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
25. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
26. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
27. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
28. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
29. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
30. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
31. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
32. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
33. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
34. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
35. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
36. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
37. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
38. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
39. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
40. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
41. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
42. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
43. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
44. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
45. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
46. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
47. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
48. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
49. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
50. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
51. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
52. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
53. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
54. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
55. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
56. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
57. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
58. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
59. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
60. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
61. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
62. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
63. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
64. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
65. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
66. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
67. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
68. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
69. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
70. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
71. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
72. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
73. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
74. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
75. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
76. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
77. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
78. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
79. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
80. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
81. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
82. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
83. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
84. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
85. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
86. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
87. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
88. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
89. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
90. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
91. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
92. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
93. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
94. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
95. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
96. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
97. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
98. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
99. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
100. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
101. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
102. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
103. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
104. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
105. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
106. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
107. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
108. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
109. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
110. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
111. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
112. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
113. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
114. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
115. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
116. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
117. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
118. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
119. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
120. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
121. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
122. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
123. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 84°$.
124. Угол $ABE = 180° - 34° - 62° = 8