Дано:
1.  $y = 2\cos(4x + \frac{\pi}{3})$.
2.  $y = \ln(2x + 5)$, $x_0 = -2$.
3.  $y = e^x + 2\sin x$.
4.  $(x^2 - 2x - 35) : (x - 7)$.
5.  $y = 5^{x+1} + 4$.
6.  $y = \sin 5x \cos x - \sin x \cos 5x$.
7.  $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.
8.  $y = x^2 - 4x + 4$, $y = 2x + 4$.

Решение:
1.  Определим наименьший положительный период функции $y = 2\cos(4x + \frac{\pi}{3})$.
    Период функции $y = \cos(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = 4$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2.  Найдем значение производной функции $y = \ln(2x + 5)$ в точке $x_0 = -2$.
    1.  Найдем производную функции $y = \ln(2x + 5)$.
    $$y' = \frac{1}{2x + 5} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 5}$$
    2.  Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$.
    $$y'(-2) = \frac{2}{2(-2) + 5} = \frac{2}{-4 + 5} = \frac{2}{1} = 2$$

3.  Найдем все первообразные функции $y = e^x + 2\sin x$.
    1.  Первообразная $e^x$ есть $e^x$.
    2.  Первообразная $2\sin x$ есть $-2\cos x$.
    3.  Общая первообразная: $F(x) = e^x - 2\cos x + C$, где $C$ - произвольная константа.

4.  Выполним деление: $(x^2 - 2x - 35) : (x - 7)$.
    1.  Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5)$.
    2.  Выполним деление: $\frac{x^2 - 2x - 35}{x - 7} = \frac{(x - 7)(x + 5)}{x - 7} = x + 5$.

5.  Найдем область значений функции: $y = 5^{x+1} + 4$.
    1.  Функция $5^{x+1}$ принимает значения от 0 (не включая) до $+\infty$.
    2.  Следовательно, $y = 5^{x+1} + 4$ принимает значения от 4 (не включая) до $+\infty$.
    3.  Область значений: $(4; +\infty)$.

6.  В каких точках график функции $y = \sin 5x \cos x - \sin x \cos 5x$ пересекает ось Ox?
    1.  Упростим функцию: $y = \sin 5x \cos x - \sin x \cos 5x = \sin(5x - x) = \sin 4x$.
    2.  График пересекает ось Ox, когда $y = 0$, то есть $\sin 4x = 0$.
    3.  $4x = \pi n$, где $n$ - целое число.
    4.  $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n$ - целое число.

7.  Укажите промежутки монотонности функции $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.
    1.  Найдем производную функции: $y' = \frac{(2x)x - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
    2.  Найдем точки, где производная равна 0 или не существует: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$, $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
    3.  Определим знаки производной на промежутках:
        *   $(-\infty; -1)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
        *   $(-1; 0)$: $y' < 0$ (функция убывает).
        *   $(0; 1)$: $y' < 0$ (функция убывает).
        *   $(1; +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
    4.  Промежутки возрастания: $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.
    5.  Промежутки убывания: $[-1; 0)$ и $(0; 1]$.

8.  Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 4$ и прямой $y = 2x + 4$.
    1.  Найдем точки пересечения параболы и прямой: $x^2 - 4x + 4 = 2x + 4$.
    2.  $x^2 - 6x = 0$.
    3.  $x(x - 6) = 0$.
    4.  $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
    5.  Найдем площадь фигуры:
    $$S = \int_{0}^{6} (2x + 4 - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{6} = 3(6^2) - \frac{6^3}{3} = 3(36) - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36$$

Ответ:
1.  $T = \frac{\pi}{2}$.
2.  $y'(-2) = 2$.
3.  $F(x) = e^x - 2\cos x + C$.
4.  $x + 5$.
5.  $(4; +\infty)$.
6.  $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n$ - целое число.
7.  Возрастает: $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Убывает: $[-1; 0)$ и $(0; 1]$.
8.  $S = 36$.