Дано: Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB = 1$. Известно, что $BB_1 = 4\sqrt{2}$ и что точка $K$ - середина ребра $AA_1$. Найти косинус угла между прямыми $B_1C$ и $KD$.

Решение:
1. Введем систему координат с началом в точке $A$, ось $x$ направим вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$.
2. Найдем координаты точек:
$B_1(1, 0, 4\sqrt{2})$, $C(1, 1, 0)$, $K(0, 0, 2\sqrt{2})$, $D(0, 1, 0)$.
3. Найдем координаты векторов:
$\vec{B_1C} = C - B_1 = (1-1, 1-0, 0-4\sqrt{2}) = (0, 1, -4\sqrt{2})$.
$\vec{KD} = D - K = (0-0, 1-0, 0-2\sqrt{2}) = (0, 1, -2\sqrt{2})$.
4. Найдем косинус угла между векторами $\vec{B_1C}$ и $\vec{KD}$ по формуле:
$$ \cos{\alpha} = \frac{\vec{B_1C} \cdot \vec{KD}}{|\vec{B_1C}| \cdot |\vec{KD}|} $$
5. Вычислим скалярное произведение:
$\vec{B_1C} \cdot \vec{KD} = (0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (-4\sqrt{2} \cdot -2\sqrt{2}) = 0 + 1 + 16 = 17$.
6. Вычислим длины векторов:
$|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-4\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + 32} = \sqrt{33}$.
$|\vec{KD}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
7. Подставим значения в формулу для косинуса угла:
$$ \cos{\alpha} = \frac{17}{\sqrt{33} \cdot 3} = \frac{17}{3\sqrt{33}} = \frac{17\sqrt{33}}{3 \cdot 33} = \frac{17\sqrt{33}}{99} $$

Ответ: $\cos{\alpha} = \frac{17\sqrt{33}}{99}$