Дано: Уравнение $x \sin^3 y \, dx + x \cos y \, dy = 0$

Решение:
1. Разделим обе части уравнения на $x \sin^3 y$, предполагая, что $x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$:
$$dx + \frac{\cos y}{\sin^3 y} dy = 0$$
2. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int dx + \int \frac{\cos y}{\sin^3 y} dy = C$$
3. Вычисляем первый интеграл:
$$\int dx = x$$
4. Вычисляем второй интеграл. Сделаем замену $u = \sin y$, тогда $du = \cos y \, dy$:
$$\int \frac{\cos y}{\sin^3 y} dy = \int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C_1 = -\frac{1}{2u^2} + C_1 = -\frac{1}{2 \sin^2 y} + C_1$$
5. Подставляем результаты интегрирования в исходное уравнение:
$$x - \frac{1}{2 \sin^2 y} = C$$
6. Умножим обе части уравнения на 2:
$$2x - \frac{1}{\sin^2 y} = 2C$$
7. Переобозначим $2C$ как $C_2$:
$$2x - \frac{1}{\sin^2 y} = C_2$$
8. Выразим $\frac{1}{\sin^2 y}$:
$$\frac{1}{\sin^2 y} = 2x - C_2$$
9. Перевернем обе части уравнения:
$$\sin^2 y = \frac{1}{2x - C_2}$$

Ответ: $\sin^2 y = \frac{1}{2x - C_2}$