Дано:
Задание 5:
Первая машина производит 20% изделий, брак 5%.
Вторая машина производит 30% изделий, брак 4%.
Третья машина производит 50% изделий, брак 2%.
Задание 6:
В урне шар неизвестного цвета (белый или черный с равной вероятностью).
Добавлен один белый шар.
Извлечен один шар, оказался белым.
Задание 7:
Вероятность, что покупателю нужна обувь 39 размера, равна 0.25.
Число покупателей: 6.
Задание 8:
Производится стрельба тремя снарядами.
Вероятность попадания каждого снаряда: 0.35.
Вероятность поражения цели при попадании одного снаряда: 0.4.
Вероятность поражения цели при попадании двух снарядов: 0.7.
Вероятность поражения цели при попадании трех снарядов: 0.9.

Решение:
Задание 5:
1. Вероятность, что изделие произведено первой машиной и бракованное: $0.20 \cdot 0.05 = 0.01$.
2. Вероятность, что изделие произведено второй машиной и бракованное: $0.30 \cdot 0.04 = 0.012$.
3. Вероятность, что изделие произведено третьей машиной и бракованное: $0.50 \cdot 0.02 = 0.01$.
4. Полная вероятность брака: $0.01 + 0.012 + 0.01 = 0.032$.
5. Вероятность, что изделие не бракованное: $1 - 0.032 = 0.968$.

Ответ: 0.968

Решение:
Задание 6:
1. Пусть $H_1$ - гипотеза, что изначально в урне был белый шар, $H_2$ - гипотеза, что изначально в урне был черный шар. $P(H_1) = P(H_2) = 0.5$.
2. Пусть $A$ - событие, что извлечен белый шар.
3. Если в урне изначально был белый шар, то после добавления белого шара в урне 2 белых шара и 0 черных. Вероятность извлечь белый шар: $P(A|H_1) = \frac{2}{2} = 1$.
4. Если в урне изначально был черный шар, то после добавления белого шара в урне 1 белый шар и 1 черный. Вероятность извлечь белый шар: $P(A|H_2) = \frac{1}{2} = 0.5$.
5. Используем формулу Байеса: $P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)} = \frac{1 \cdot 0.5}{1 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot 0.5} = \frac{0.5}{0.5 + 0.25} = \frac{0.5}{0.75} = \frac{2}{3}$.
6. Если изначально был белый шар, то после извлечения белого шара в урне остался 1 белый шар. Если изначально был черный шар, то после извлечения белого шара в урне остался 1 черный шар.
7. Вероятность, что в урне остался белый шар: $P(H_1|A) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Решение:
Задание 7:
1. Вероятность, что покупателю нужна обувь 39 размера: $p = 0.25$.
2. Вероятность, что покупателю не нужна обувь 39 размера: $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$.
3. Число покупателей: $n = 6$.
4. Нам нужно найти вероятность, что по крайней мере двум покупателям нужна обувь 39 размера. Это значит, что нужно найти $P(X \geq 2)$, где $X$ - число покупателей, которым нужна обувь 39 размера.
5. $P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
6. Используем формулу Бернулли: $P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.
7. $P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.25)^0 \cdot (0.75)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.177978515625 \approx 0.1780$.
8. $P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.25)^1 \cdot (0.75)^5 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.2373046875 \approx 0.3560$.
9. $P(X \geq 2) = 1 - (0.1780 + 0.3560) = 1 - 0.5340 = 0.4660$.

Ответ: 0.4660

Решение:
Задание 8:
1. Вероятность попадания каждого снаряда: $p = 0.35$.
2. Вероятность непопадания каждого снаряда: $q = 1 - p = 1 - 0.35 = 0.65$.
3. Вероятность поражения цели при попадании одного снаряда: 0.4.
4. Вероятность поражения цели при попадании двух снарядов: 0.7.
5. Вероятность поражения цели при попадании трех снарядов: 0.9.
6. Вероятность полного поражения цели:
$$P = P(\text{1 попадание}) \cdot 0.4 + P(\text{2 попадания}) \cdot 0.7 + P(\text{3 попадания}) \cdot 0.9$$
7. $P(\text{1 попадание}) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot q^2 = 3 \cdot 0.35 \cdot (0.65)^2 = 3 \cdot 0.35 \cdot 0.4225 = 0.443625$.
8. $P(\text{2 попадания}) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.35)^2 \cdot 0.65 = 3 \cdot 0.1225 \cdot 0.65 = 0.238875$.
9. $P(\text{3 попадания}) = C_3^3 \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.35)^3 \cdot 1 = 0.042875$.
10. $P = 0.443625 \cdot 0.4 + 0.238875 \cdot 0.7 + 0.042875 \cdot 0.9 = 0.17745 + 0.1672125 + 0.0385875 = 0.38325$.

Ответ: 0.38325