Дано: Угол $ACB = 42°$. Градусная мера дуги $AB$ окружности, не содержащей точек $D$ и $E$, равна $124°$.

Решение:
1. Угол $ACB$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, содержащую точки $D$ и $E$.
2. Градусная мера дуги $AB$, содержащей точки $D$ и $E$, равна $2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 42° = 84°$.
3. Полная градусная мера окружности равна $360°$.
4. Градусная мера дуги $AB$, не содержащей точек $D$ и $E$, равна $124°$ (по условию).
5. Угол $ADB$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, не содержащую точек $D$ и $E$. Следовательно, $\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 124° = 62°$.
6. Четырехугольник $ADBE$ - вписанный в окружность. Значит, сумма противоположных углов равна $180°$.
7. $\angle AEB + \angle ADB = 180°$. Следовательно, $\angle AEB = 180° - \angle ADB = 180° - 62° = 118°$.
8. Угол $DAE$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $DE$.
9. Угол $DBE$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $DE$.
10. $\angle DAE = \angle DBE$.
11. $\angle AEB = \angle AED + \angle DEB = 118°$.
12. $\angle ACB = 42°$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, содержащую точки $D$ и $E$.
13. $\angle AEB$ опирается на дугу $AB$, не содержащую точек $D$ и $E$.
14. $\angle AEB = 180° - \angle ADB = 180° - 62° = 118°$.
15. $\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга }DE$.
16. $\angle DBE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга }DE$.
17. Дуга $AB$, не содержащая $D$ и $E$, равна $124°$.
18. Дуга $AB$, содержащая $D$ и $E$, равна $84°$.
19. $\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot (360° - 124° - 84°) = \frac{1}{2} \cdot (360° - 208°) = \frac{1}{2} \cdot 152° = 76°$.

Ответ: $DAE = 76°$.