Дано:
Решить задания из Варианта 1:
1. Исследовать на сходимость числовые ряды с положительными членами:
а) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n}$
б) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$
в) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3 + 1}$$
3. Найти область сходимости функционального ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n (x - 1)^n}$$
4. Разложить в ряд Тейлора функцию $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ по степеням (x - 1) и найти его область сходимости.

Решение:

Решение задачи № 1:

1. Исследуем ряд а):
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n}$$
Общий член ряда:
$$a_n = \frac{1}{n^2 - n}$$
Для исследования применим предельный признак сравнения. Сравним данный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихле) при p = 2:
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
Найдем предел отношения общих членов при n, стремящемся к бесконечности:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 - n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 - n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = 1$$
Так как предел равен 1 (конечное число, отличное от нуля), и эталонный ряд сходится, то исходный ряд также сходится.

2. Исследуем ряд б):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$$
Общий член ряда:
$$a_n = \frac{n!}{10^n}$$
Применим признак Даламбера. Найдем член $a_{n+1}$:
$$a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}$$
Вычислим предел отношения:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}}{\frac{n!}{10^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 10^n}{n! \cdot 10^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} = \infty$$
Так как L > 1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

3. Исследуем ряд в):
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$$
Общий член ряда:
$$a_n = \frac{1}{(\ln n)^n}$$
Применим радикальный признак Коши. Вычислим предел:
$$C = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = 0$$
Так как C < 1, то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Решение задачи № 2:

1. Данный ряд является знакочередующимся. Исследуем сначала ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}$$
2. Исследуем полученный знакоположительный ряд на сходимость. Применим признак сравнения. Сравним его со сходящимся рядом Дирихле при p = 3:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$$
Так как для всех n >= 1 выполняется неравенство:
$$\frac{1}{n^3 + 1} < \frac{1}{n^3}$$
и эталонный ряд сходится (так как p = 3 > 1), то по признаку сравнения ряд из абсолютных величин также сходится.
3. Поскольку ряд из абсолютных величин сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Решение задачи № 3:

1. Сделаем замену переменной:
$$t = \frac{1}{x - 1}$$
Тогда ряд принимает вид степенного ряда относительно t:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} t^n$$
2. Найдем радиус сходимости R полученного степенного ряда по формуле Даламбера. Коэффициенты ряда равны:
$$c_n = \frac{n^2}{2^n}$$
Вычислим предел:
$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{2^n}}{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot 2^{n+1}}{(n+1)^2 \cdot 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{(n+1)^2} = 2$$
Следовательно, степенной ряд сходится при |t| < 2.
3. Вернемся к исходной переменной x. Неравенство |t| < 2 принимает вид:
$$\left| \frac{1}{x - 1} \right| < 2$$
Так как x не равен 1, это неравенство эквивалентно:
$$|x - 1| > \frac{1}{2}$$
Раскроем модуль:
x - 1 > 0.5 или x - 1 < -0.5
x > 1.5 или x < 0.5
Таким образом, интервал сходимости: x принадлежит интервалам (-бесконечность, 0.5) и (1.5, +бесконечность).
4. Исследуем сходимость на границах интервала.
При t = 2 (что соответствует x - 1 = 0.5, то есть x = 1.5):
Подставим t = 2 в степенной ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2$$
Этот ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю:
$$\lim_{n \to \infty} n^2 = \infty \neq 0$$
При t = -2 (что соответствует x - 1 = -0.5, то есть x = 0.5):
Подставим t = -2 в степенной ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} (-2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^2$$
Этот ряд также расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю.
5. Таким образом, граничные точки x = 0.5 и x = 1.5 не входят в область сходимости. Область сходимости исходного ряда: x принадлежит (-бесконечность, 0.5) в объединении с (1.5, +бесконечность).

Решение задачи № 4:

1. Преобразуем функцию f(x) так, чтобы выделить выражение (x - 1):
$$f(x) = \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{(x - 1) - 2}$$
Вынесем -2 за скобки в знаменателе:
$$f(x) = \frac{1}{-2 \left(1 - \frac{x - 1}{2}\right)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{2}}$$
2. Используем табличное разложение для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$\frac{1}{1 - q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n, \quad |q| < 1$$
В нашем случае:
$$q = \frac{x - 1}{2}$$
Подставим q в формулу разложения:
$$f(x) = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x - 1}{2}\right)^n = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{(x - 1)^n}{2^{n+1}}$$
3. Найдем область сходимости полученного ряда. Ряд сходится при условии |q| < 1:
$$\left| \frac{x - 1}{2} \right| < 1$$
$$|x - 1| < 2$$
Раскроем модуль:
-2 < x - 1 < 2
-1 < x < 3
На границах интервала (при x = -1 и x = 3) знаменатель геометрической прогрессии равен по модулю 1, следовательно, ряд расходится. Таким образом, область сходимости: x принадлежит (-1, 3).

Ответ:

Задача № 1:
а) ряд сходится;
б) ряд расходится;
в) ряд сходится.

Задача № 2:
Ряд сходится абсолютно.

Задача № 3:
Область сходимости: x \in (-\infty, 0.5) \cup (1.5, +\infty).

Задача № 4:
Разложение в ряд Тейлора:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{(x - 1)^n}{2^{n+1}}$$
Область сходимости: x \in (-1, 3).