Дано:
1.  Определить наименьший положительный период функции $y = 3\sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6})$.
2.  Чему равно значение производной функции $y = \ln(3x - 4)$ в точке $x_0 = 2$?
3.  Найти все первообразные функции $y = e^x + 2\cos x$.
4.  Выполнить деление: $(8x^2 + 10x - 3) : (4x - 1)$.
5.  Найти область значений функции: $y = (\frac{1}{4})^{x+1} - 2$.
6.  В каких точках график функции $y = \cos 5x \cos x - \sin 5x \sin x$ пересекает ось $Ox$?
7.  Укажите промежутки монотонности функции $y = \frac{x^2}{x+1}$.
8.  Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 4x + 4$ и прямой $y = x + 4$.

Решение:

1.  Период функции $y = A\sin(kx + b)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = \frac{1}{4}$, поэтому $T = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi$.

2.  Находим производную функции $y = \ln(3x - 4)$:
    $y' = \frac{1}{3x - 4} \cdot 3 = \frac{3}{3x - 4}$.
    Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:
    $y'(2) = \frac{3}{3 \cdot 2 - 4} = \frac{3}{6 - 4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

3.  Находим первообразные функции $y = e^x + 2\cos x$:
    Первообразная $e^x$ есть $e^x$.
    Первообразная $\cos x$ есть $\sin x$, поэтому первообразная $2\cos x$ есть $2\sin x$.
    Общая первообразная: $F(x) = e^x + 2\sin x + C$, где $C$ - произвольная константа.

4.  Выполняем деление $(8x^2 + 10x - 3) : (4x - 1)$:
    Делим столбиком:
    ```
          2x + 3
    4x-1 | 8x² + 10x - 3
          -(8x² - 2x)
          ---------
                12x - 3
                -(12x - 3)
                ---------
                     0
    ```
    Результат: $2x + 3$.

5.  Находим область значений функции $y = (\frac{1}{4})^{x+1} - 2$:
    Функция $(\frac{1}{4})^{x+1}$ принимает все положительные значения, то есть $(\frac{1}{4})^{x+1} > 0$.
    Тогда $y = (\frac{1}{4})^{x+1} - 2 > -2$.
    Область значений: $y \in (-2; +\infty)$.

6.  Находим точки пересечения графика функции $y = \cos 5x \cos x - \sin 5x \sin x$ с осью $Ox$:
    Используем формулу косинуса суммы: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
    Тогда $y = \cos(5x + x) = \cos 6x$.
    График пересекает ось $Ox$, когда $\cos 6x = 0$.
    $6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
    $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7.  Укажите промежутки монотонности функции $y = \frac{x^2}{x+1}$:
    Находим производную:
    $y' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
    Производная равна нулю при $x = 0$ и $x = -2$.
    Производная не существует при $x = -1$.
    Определяем знаки производной на интервалах:
    $(-\infty; -2)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
    $(-2; -1)$: $y' < 0$ (функция убывает).
    $(-1; 0)$: $y' < 0$ (функция убывает).
    $(0; +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
    Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$.
    Функция убывает на $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.

8.  Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 4x + 4$ и прямой $y = x + 4$:
    Находим точки пересечения:
    $x^2 + 4x + 4 = x + 4$
    $x^2 + 3x = 0$
    $x(x + 3) = 0$
    $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
    Площадь равна интегралу:
    $S = \int_{-3}^{0} (x + 4 - (x^2 + 4x + 4)) dx = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}]_{-3}^{0} = 0 - (-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2}) = -(\frac{27}{3} - \frac{27}{2}) = -(9 - \frac{27}{2}) = -(\frac{18 - 27}{2}) = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ:
1.  $T = 8\pi$.
2.  $y'(2) = 1.5$.
3.  $F(x) = e^x + 2\sin x + C$.
4.  $2x + 3$.
5.  $y \in (-2; +\infty)$.
6.  $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
7.  Возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$. Убывает на $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.
8.  $S = 4.5$.