Дано: Найти значение выражения $\frac{2}{2 + \sqrt{3}} + 2\sqrt{3}$.
Решение:
1. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $2 - \sqrt{3}$:
$$\frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$$
2. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
$$\frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{1} = 4 - 2\sqrt{3}$$
3. Подставим полученное выражение в исходное:
$$4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$
4. Упростим выражение:
$$4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4$$
Ответ: 4