Дано: Дифференциальное уравнение $xy'' - y' = xe^x$

Решение:

1.  Преобразуем уравнение. Заметим, что $y'' - \frac{1}{x}y' = e^x$.
2.  Введем замену $v = y'$. Тогда $v' = y''$. Уравнение примет вид $xv' - v = xe^x$.
3.  Разделим обе части уравнения на $x$: $v' - \frac{1}{x}v = e^x$.
4.  Решаем полученное линейное уравнение первого порядка. Найдем интегрирующий фактор $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}$. Будем рассматривать случай $x > 0$, тогда $\mu(x) = \frac{1}{x}$.
5.  Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор: $\frac{1}{x}v' - \frac{1}{x^2}v = \frac{1}{x}e^x$.
6.  Заметим, что левая часть уравнения является производной от $\frac{v}{x}$: $\frac{d}{dx}(\frac{v}{x}) = \frac{1}{x}e^x$.
7.  Интегрируем обе части уравнения по $x$: $\int \frac{d}{dx}(\frac{v}{x}) dx = \int \frac{1}{x}e^x dx$.
8.  Получаем $\frac{v}{x} = \int \frac{e^x}{x} dx + C_1$, где $C_1$ - константа интегрирования. Интеграл $\int \frac{e^x}{x} dx$ не выражается через элементарные функции, поэтому обозначим его как $Ei(x)$ (интегральная показательная функция).
9.  Тогда $\frac{v}{x} = Ei(x) + C_1$, откуда $v = xEi(x) + C_1x$.
10. Вспомним, что $v = y'$, поэтому $y' = xEi(x) + C_1x$.
11. Интегрируем обе части уравнения по $x$: $y = \int (xEi(x) + C_1x) dx = \int xEi(x) dx + C_1 \int x dx$.
12. $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$, где $C_2$ - константа интегрирования.
13. Интеграл $\int xEi(x) dx$ можно выразить через элементарные функции. Интегрируем по частям: $\int xEi(x) dx = \frac{x^2}{2}Ei(x) - \int \frac{x^2}{2} \frac{e^x}{x} dx = \frac{x^2}{2}Ei(x) - \frac{1}{2} \int xe^x dx = \frac{x^2}{2}Ei(x) - \frac{1}{2}(xe^x - e^x) + C_3$.
14. Тогда $y = \frac{x^2}{2}Ei(x) - \frac{1}{2}xe^x + \frac{1}{2}e^x + C_1\frac{x^2}{2} + C_2$.

Ответ: $y = \frac{x^2}{2}Ei(x) - \frac{1}{2}xe^x + \frac{1}{2}e^x + C_1\frac{x^2}{2} + C_2$, где $Ei(x)$ - интегральная показательная функция, $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.