**Задание 7**

Дано: Найти значение выражения $\frac{63^2 - 23^2}{71^2 - 15^2 + 86 \cdot 24}$

Решение:
1. Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$$63^2 - 23^2 = (63 - 23)(63 + 23) = 40 \cdot 86$$
2. Разложим часть знаменателя по формуле разности квадратов:
$$71^2 - 15^2 = (71 - 15)(71 + 15) = 56 \cdot 86$$
3. Подставим полученное выражение в знаменатель:
$$71^2 - 15^2 + 86 \cdot 24 = 56 \cdot 86 + 86 \cdot 24$$
4. Вынесем общий множитель 86 за скобки в знаменателе:
$$86 \cdot (56 + 24) = 86 \cdot 80$$
5. Запишем всю дробь и сократим ее:
$$\frac{40 \cdot 86}{86 \cdot 80} = \frac{40}{80} = 0.5$$

Ответ: Б (0,5)

---

**Задание 8**

Дано: Найти корень уравнения $2^{x-10} = \frac{1}{4}$

Решение:
1. Представим правую часть уравнения как степень с основанием 2:
$$\frac{1}{4} = 2^{-2}$$
2. Приравняем показатели степеней:
x - 10 = -2
3. Перенесем число -10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
x = 10 - 2
x = 8

Ответ: Д (8)

---

**Задание 9**

Дано: Расстояние S = 96 км, скорость яхты в неподвижной воде v = 10 км/ч, разность во времени между путем против течения и по течению составляет 4 часа. Найти скорость течения реки u.

Решение:
1. Запишем время движения против течения:
$$t_1 = \frac{96}{10 - u}$$
2. Запишем время движения по течению:
$$t_2 = \frac{96}{10 + u}$$
3. Составим уравнение по условию задачи:
$$\frac{96}{10 - u} - \frac{96}{10 + u} = 4$$
4. Разделим обе части уравнения на 4:
$$\frac{24}{10 - u} - \frac{24}{10 + u} = 1$$
5. Приведем дроби к общему знаменателю:
$$24(10 + u) - 24(10 - u) = (10 - u)(10 + u)$$
$$240 + 24u - 240 + 24u = 100 - u^2$$
$$48u = 100 - u^2$$
$$u^2 + 48u - 100 = 0$$
6. Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:
u = 2 или u = -50.
Так как скорость течения реки должна быть положительной величиной, выбираем u = 2 км/ч.

Ответ: Д (2)

---

**Задание 10**

Дано: Всего билетов N = 25, билетов с вопросом по теме "Производная" - 8. Найти вероятность того, что в случайно выбранном билете не будет вопроса по этой теме.

Решение:
1. Найдем количество билетов, в которых нет вопроса по теме "Производная":
25 - 8 = 17
2. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу исходов:
$$P = \frac{17}{25}$$
3. Переведем полученную дробь в десятичный вид:
$$P = \frac{17 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{68}{100} = 0.68$$

Ответ: В (0,68)

---

**Задание 11**

Дано: Упростить выражение $\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}$

Решение:
1. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^{11}$. Тогда выражение примет вид:
$$\frac{t^3 - 1}{t^3 + t^2 + t}$$
2. Разложим числитель по формуле разности кубов:
$$t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$$
3. В знаменателе вынесем t за скобки:
$$t^3 + t^2 + t = t(t^2 + t + 1)$$
4. Подставим разложения в исходную дробь:
$$\frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t(t^2 + t + 1)}$$
5. Сократим дробь на общий множитель $t^2 + t + 1$:
$$\frac{t - 1}{t}$$
6. Вернемся к исходной переменной x:
$$\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$$

Ответ: А ($\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$)

---

**Задание 12**

Дано: Найти первообразную функции $f(x) = 5x^4 + \frac{1}{x} - e^x$

Решение:
1. Найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:
Для $5x^4$ первообразная равна $x^5$.
Для $\frac{1}{x}$ первообразная равна $\ln x$.
Для $-e^x$ первообразная равна $-e^x$.
2. Запишем общее семейство первообразных, добавив произвольную постоянную C:
$$F(x) = x^5 + \ln x - e^x + C$$

Ответ: Г ($x^5 + \ln x - e^x + C$)

---

**Задание 13**

Дано: Правильная шестиугольная пирамида, сторона основания a = 18 см, боковое ребро b = 41 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение:
1. Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных равнобедренных треугольников.
2. Найдем высоту h (апофему) одного из этих треугольников. Высота делит основание треугольника пополам, образуя прямоугольный треугольник с гипотенузой b и катетом a/2:
$$h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$
$$h = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}$$
3. Найдем площадь одного бокового треугольника:
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 40 = 360 \text{ см}^2$$
4. Найдем площадь всей боковой поверхности пирамиды:
$$S_{\text{бок}} = 6 \cdot S_1 = 6 \cdot 360 = 2160 \text{ см}^2$$

Ответ: В ($2160 \text{ см}^2$)

---

**Задание 14**

Дано: Найти производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \sqrt{x} + 1$

Решение:
1. Найдем производную первого слагаемого:
$$(\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$
2. Найдем производную второго слагаемого:
$$(-\sqrt{x})' = - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -0.5x^{-0.5}$$
3. Производная константы 1 равна 0.
4. Запишем общую производную функции:
$$f'(x) = x^2 - 0.5x^{-0.5}$$

Ответ: Г ($x^2 - 0,5x^{-0,5}$)

---

**Задание 15**

Дано: Найти $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{\sqrt{91}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$

Решение:
1. Угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти синус принимает отрицательные значения ($\sin\alpha < 0$).
2. Используем основное тригонометрическое тождество:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$
3. Подставим известное значение косинуса:
$$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{91}{100} = \frac{9}{100}$$
4. Так как синус в четвертой четверти отрицателен, выбираем отрицательное значение корня:
$$\sin\alpha = -\sqrt{\frac{9}{100}} = -0.3$$

Ответ: А (-0,3)