Дано: Вычислить $\sqrt{1.2e^{0.2}}$, используя разложение по формуле Тейлора с точностью до второго порядка.

Решение:
1.  Определим функцию $f(x, y) = \sqrt{xy}$, где $x = 1.2$ и $y = e^{0.2}$.
2.  Выберем точку, в окрестности которой будем раскладывать функцию в ряд Тейлора. Удобно выбрать точку $(1, 1)$, так как $\sqrt{1 \cdot 1} = 1$.
3.  Найдем частные производные первого порядка:
    $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}}$
    $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}}$
4.  Найдем частные производные второго порядка:
    $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{2\sqrt{xy}} \right) = \frac{y}{2} \cdot \frac{-1}{2} (xy)^{-3/2} \cdot y = -\frac{y^2}{4(xy)^{3/2}}$
    $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{2\sqrt{xy}} \right) = \frac{x}{2} \cdot \frac{-1}{2} (xy)^{-3/2} \cdot x = -\frac{x^2}{4(xy)^{3/2}}$
    $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2\sqrt{xy}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} + y \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{2} (xy)^{-3/2} \cdot x = \frac{1}{2\sqrt{xy}} - \frac{xy}{4(xy)^{3/2}} = \frac{4xy - xy}{8(xy)^{3/2}} = \frac{3xy}{8(xy)^{3/2}} = \frac{3}{8\sqrt{xy}}$
5.  Вычислим значения производных в точке $(1, 1)$:
    $f(1, 1) = \sqrt{1 \cdot 1} = 1$
    $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = \frac{1}{2\sqrt{1 \cdot 1}} = \frac{1}{2}$
    $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = \frac{1}{2\sqrt{1 \cdot 1}} = \frac{1}{2}$
    $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1) = -\frac{1}{4(1 \cdot 1)^{3/2}} = -\frac{1}{4}$
    $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1, 1) = -\frac{1}{4(1 \cdot 1)^{3/2}} = -\frac{1}{4}$
    $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(1, 1) = \frac{3}{8\sqrt{1 \cdot 1}} = \frac{3}{8}$
6.  Запишем разложение Тейлора до второго порядка:
    $f(x, y) \approx f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1)(x - 1)^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1, 1)(y - 1)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(1, 1)(x - 1)(y - 1)$
    $f(x, y) \approx 1 + \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2}(y - 1) - \frac{1}{8}(x - 1)^2 - \frac{1}{8}(y - 1)^2 + \frac{3}{8}(x - 1)(y - 1)$
7.  Подставим $x = 1.2$ и $y = e^{0.2}$.  Так как $e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2} = 1 + 0.2 + 0.02 = 1.22$, то $y \approx 1.22$.
8.  Вычислим приближенное значение:
    $f(1.2, 1.22) \approx 1 + \frac{1}{2}(1.2 - 1) + \frac{1}{2}(1.22 - 1) - \frac{1}{8}(1.2 - 1)^2 - \frac{1}{8}(1.22 - 1)^2 + \frac{3}{8}(1.2 - 1)(1.22 - 1)$
    $f(1.2, 1.22) \approx 1 + \frac{1}{2}(0.2) + \frac{1}{2}(0.22) - \frac{1}{8}(0.2)^2 - \frac{1}{8}(0.22)^2 + \frac{3}{8}(0.2)(0.22)$
    $f(1.2, 1.22) \approx 1 + 0.1 + 0.11 - \frac{1}{8}(0.04) - \frac{1}{8}(0.0484) + \frac{3}{8}(0.044)$
    $f(1.2, 1.22) \approx 1.21 - 0.005 - 0.00605 + 0.0165$
    $f(1.2, 1.22) \approx 1.21 - 0.01105 + 0.0165$
    $f(1.2, 1.22) \approx 1.21545$

Ответ: $\sqrt{1.2e^{0.2}} \approx 1.21545$