Дано: Вычислить значение выражения $20 : \left( \left(6\frac{3}{14} + 1\frac{11}{14}\right) - \left(4\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}\right) \right) : 5$.

Решение:
1. Сначала вычислим значение в первых скобках:
$6\frac{3}{14} + 1\frac{11}{14} = (6 + 1) + \left(\frac{3}{14} + \frac{11}{14}\right) = 7 + \frac{14}{14} = 7 + 1 = 8$.

2. Теперь вычислим значение во вторых скобках:
$4\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = \frac{17}{4} - \frac{11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

3. Вычислим разность между результатами из шагов 1 и 2:
$8 - 1\frac{1}{2} = 8 - \frac{3}{2} = \frac{16}{2} - \frac{3}{2} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$.

4. Теперь выполним первое деление:
$20 : 6\frac{1}{2} = 20 : \frac{13}{2} = 20 \cdot \frac{2}{13} = \frac{40}{13}$.

5. И, наконец, выполним второе деление:
$\frac{40}{13} : 5 = \frac{40}{13} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{8}{13}$