Дано: Вычислить значение выражения $\frac{16}{21} : (2\frac{3}{10} + 1\frac{1}{5} + 4\frac{1}{2}) \cdot \frac{7}{9}$.
Решение:
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:
$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$
$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

2. Сложим дроби в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю, равному 10:
$\frac{23}{10} + \frac{6}{5} + \frac{9}{2} = \frac{23}{10} + \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{23}{10} + \frac{12}{10} + \frac{45}{10} = \frac{23 + 12 + 45}{10} = \frac{80}{10} = 8$

3. Выполним деление:
$\frac{16}{21} : 8 = \frac{16}{21} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{21 \cdot 8} = \frac{2}{21}$

4. Выполним умножение:
$\frac{2}{21} \cdot \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 7}{21 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{2}{3 \cdot 9} = \frac{2}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27}$