Дано:
Напряжение на участке цепи $U = 6$ В.
Сопротивление первой лампочки $R_1 = 1$ Ом.
Сопротивление второй лампочки $R_2 = 2$ Ом.

Решение:
1. Определим общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух параллельно соединенных резисторов. Общее сопротивление $R$ при параллельном соединении вычисляется по формуле:
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$
2. Подставим значения сопротивлений:
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
3. Найдем общее сопротивление:
$$R = \frac{2}{3} \text{ Ом}$$
4. Найдем общий ток в цепи, используя закон Ома: $I = \frac{U}{R}$.
$$I = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \text{ А}$$
5. Найдем ток, текущий через лампочку с сопротивлением $R_1 = 1$ Ом. Используем закон Ома для этой лампочки: $I_1 = \frac{U}{R_1}$.
$$I_1 = \frac{6}{1} = 6 \text{ А}$$
6. Найдем ток, текущий через лампочку с сопротивлением $R_2 = 2$ Ом. Используем закон Ома для этой лампочки: $I_2 = \frac{U}{R_2}$.
$$I_2 = \frac{6}{2} = 3 \text{ А}$$
7. Определим, через какую лампочку течет ток с наименьшим сопротивлением. Наименьшее сопротивление у первой лампочки $R_1 = 1$ Ом.
8. Сила тока, текущего через лампочку с наименьшим сопротивлением, равна $I_1 = 6$ А.

Ответ: 6 А