Дано: Функция $z = xy$ и условие $x + y = 3$.

Решение:
1. Выразим $y$ через $x$ из уравнения связи: $y = 3 - x$.
2. Подставим выражение для $y$ в функцию $z$: $z = x(3 - x) = 3x - x^2$.
3. Найдем производную $z$ по $x$: $\frac{dz}{dx} = 3 - 2x$.
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3 - 2x = 0$.
5. Решим уравнение для $x$: $2x = 3$, следовательно, $x = \frac{3}{2} = 1.5$.
6. Найдем соответствующее значение $y$: $y = 3 - x = 3 - 1.5 = 1.5$.
7. Найдем значение функции $z$ в критической точке: $z = xy = 1.5 \cdot 1.5 = 2.25$.
8. Найдем вторую производную $z$ по $x$: $\frac{d^2z}{dx^2} = -2$.
9. Так как вторая производная отрицательна, то в точке $x = 1.5$ функция $z$ имеет максимум.

Ответ: 2.25