1.  Какое поле называется однородным? Приведите примеры. Ответ поясните рисунком.

Дано: Определение однородного поля и примеры.
Решение:
Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства. Это означает, что вектор напряженности $\vec{E}$ имеет одинаковую величину и направление в любой точке поля.
Примеры:
1. Поле между двумя параллельными, бесконечно большими, равномерно заряженными плоскостями.
2. Внутри длинного соленоида, вдали от его концов.
Рисунок: (К сожалению, я не могу нарисовать рисунок. Представьте две параллельные пластины с равномерно распределенным зарядом. Линии напряженности поля направлены перпендикулярно пластинам и параллельны друг другу, с одинаковой плотностью.)
Ответ: Однородное поле - поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства. Примеры: поле между двумя параллельными заряженными плоскостями, поле внутри длинного соленоида.

2.  Чему равна работа по перемещению заряда 1 нКл из точки А в точку Е (см. рис.)?

Дано: $q = 1$ нКл $= 1 \cdot 10^{-9}$ Кл. Перемещение из точки А в точку Е.
Решение:
1. Определяем потенциалы точек А и Е по графику.
$\varphi_A = 24$ В
$\varphi_E = 21$ В
2. Работа по перемещению заряда из точки А в точку Е равна:
$A = q(\varphi_A - \varphi_E)$
3. Подставляем значения:
$A = 1 \cdot 10^{-9} (24 - 21) = 1 \cdot 10^{-9} \cdot 3 = 3 \cdot 10^{-9}$ Дж
Ответ: $A = 3 \cdot 10^{-9}$ Дж

3.  Чему равна напряженность электростатического поля в точке Б (см. рис.)? Как направлен вектор напряженности в данной точке?

Дано: Необходимо определить напряженность поля в точке Б по графику.
Решение:
1. Определяем потенциал в точке Б: $\varphi_Б = 24$ В.
2. Определяем координату точки Б: $x_Б = 1$ мм $= 0.001$ м.
3. Напряженность электрического поля связана с потенциалом соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dx}$.
4. Поскольку график зависимости потенциала от координаты представляет собой кривую, то для оценки напряженности в точке Б можно воспользоваться приближением: $E \approx -\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}$.
5. Возьмем две близлежащие точки к точке Б, например, А и В. $\Delta x = x_В - x_А = 2 - 0 = 2$ мм $= 0.002$ м. $\Delta \varphi = \varphi_В - \varphi_А = 24 - 24 = 0$ В.
6. Тогда $E \approx -\frac{0}{0.002} = 0$ В/м.
7. Однако, если рассмотреть точки между А и Б, то можно заметить, что потенциал не меняется, следовательно, напряженность равна нулю.
8. Вектор напряженности не имеет направления, так как его величина равна нулю.

Ответ: Напряженность электростатического поля в точке Б равна 0 В/м. Вектор напряженности не имеет направления.

4.  Потенциал электрического поля меняется по закону $\varphi = x^2$ (В). Определить напряженность поля в точке $x = 2$ м.

Дано: $\varphi = x^2$, $x = 2$ м.
Решение:
1. Напряженность электрического поля связана с потенциалом соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dx}$.
2. Находим производную потенциала по координате: $\frac{d\varphi}{dx} = \frac{d(x^2)}{dx} = 2x$.
3. Тогда $E = -2x$.
4. Подставляем значение $x = 2$ м: $E = -2 \cdot 2 = -4$ В/м.
Ответ: $E = -4$ В/м.

5.  Напряженность электрического поля меняется по закону $E = 9r^2$ (В/м). Определить потенциал поля в точке $r_2 = 2$ м, если в точке $r_1 = 3$ м потенциал поля равен 6 В.

Дано: $E = 9r^2$, $r_2 = 2$ м, $r_1 = 3$ м, $\varphi(r_1) = 6$ В.
Решение:
1. Связь между напряженностью и потенциалом: $E = -\frac{d\varphi}{dr}$.
2. Тогда $d\varphi = -E dr = -9r^2 dr$.
3. Интегрируем обе части: $\int_{\varphi(r_1)}^{\varphi(r_2)} d\varphi = \int_{r_1}^{r_2} -9r^2 dr$.
4. $\varphi(r_2) - \varphi(r_1) = -9 \int_{3}^{2} r^2 dr = -9 \cdot \frac{r^3}{3} \Big|_3^2 = -3(2^3 - 3^3) = -3(8 - 27) = -3(-19) = 57$.
5. $\varphi(r_2) = \varphi(r_1) + 57 = 6 + 57 = 63$ В.
Ответ: $\varphi(r_2) = 63$ В.

6.  Металлический шар радиусом 10 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью 10 нКл/м². Чему равна напряженность в точках, находящихся от центра шара на расстоянии: а) 1 см; б) 11 см?

Дано: $R = 10$ см $= 0.1$ м, $\sigma = 10$ нКл/м² $= 10 \cdot 10^{-9}$ Кл/м².
Решение:
а) $r = 1$ см $= 0.01$ м. Так как $r < R$, то точка находится внутри шара. Внутри металлического шара напряженность электрического поля равна нулю. $E = 0$.
б) $r = 11$ см $= 0.11$ м. Так как $r > R$, то точка находится вне шара. Напряженность электрического поля вне шара: $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$, где $Q = \sigma \cdot 4\pi R^2$.
Тогда $E = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{\sigma R^2}{\epsilon_0 r^2} = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot (0.1)^2}{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot (0.11)^2} = \frac{10^{-10}}{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 0.0121} \approx \frac{10^{-10}}{1.07 \cdot 10^{-13}} \approx 934.58$ В/м.
Ответ: а) $E = 0$ В/м; б) $E \approx 934.58$ В/м.

7.  В центре кубической поверхности расположен точечный заряд 1 нКл. Определить величину потока вектора напряженности через одну грань куба?

Дано: $q = 1$ нКл $= 1 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Решение:
1. По теореме Гаусса, поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен заряду внутри поверхности, деленному на электрическую постоянную: $\Phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
2. В данном случае, замкнутая поверхность - это куб. Заряд находится в центре куба.
3. Полный поток через куб: $\Phi = \frac{1 \cdot 10^{-9}}{8.85 \cdot 10^{-12}} \approx 112.99$ В·м.
4. Куб имеет 6 граней. Поток через каждую грань одинаков, так как заряд находится в центре куба.
5. Поток через одну грань: $\Phi_1 = \frac{\Phi}{6} = \frac{112.99}{6} \approx 18.83$ В·м.
Ответ: $\Phi_1 \approx 18.83$ В·м.

8.  Квадратная рамка со стороной 10 см находится в электрическом поле бесконечной равномерно заряженной плоскости с плотностью 1 мкКл/м². Плоскость рамки составляет угол 60° с силовыми линиями поля. Чему равен поток вектора напряженности через плоскость рамки?

Дано: $a = 10$ см $= 0.1$ м, $\sigma = 1$ мкКл/м² $= 1 \cdot 10^{-6}$ Кл/м², $\alpha = 60°$.
Решение:
1. Площадь рамки: $S = a^2 = (0.1)^2 = 0.01$ м².
2. Напряженность электрического поля бесконечной плоскости: $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \approx 56497.18$ В/м.
3. Поток вектора напряженности через рамку: $\Phi = E S \cos{\alpha} = 56497.18 \cdot 0.01 \cdot \cos{60°} = 564.97 \cdot 0.5 = 282.49$ В·м.
Ответ: $\Phi \approx 282.49$ В·м.

9.  Какое движение совершает точечный диполь в электрическом поле (см. рис.)? Ответ поясните.

Дано: Рисунок с диполем в электрическом поле.
Решение:
На рисунке изображен диполь, состоящий из положительного и отрицательного зарядов, помещенный в неоднородное электрическое поле.
1. На положительный заряд действует сила $\vec{F_+} = q\vec{E_+}$, направленная по направлению поля.
2. На отрицательный заряд действует сила $\vec{F_-} = -q\vec{E_-}$, направленная против направления поля.
3. Так как поле неоднородно, то $E_+ \neq E_-$, следовательно, $F_+ \neq F_-$.
4. Результирующая сила $F = F_+ - F_-$ не равна нулю, и диполь будет двигаться поступательно в направлении большего поля.
5. Кроме того, на диполь действует вращающий момент, так как силы $F_+$ и $F_-$ не направлены по одной прямой. Этот момент будет поворачивать диполь так, чтобы он ориентировался вдоль направления поля.
Ответ: Точечный диполь будет совершать поступательное движение в сторону большего поля и вращательное движение, ориентируясь вдоль направления поля.

10. Как рассчитывали напряженность поля в данной лабораторной работе? Привести один расчет.

Дано: Необходимо привести пример расчета напряженности поля из предыдущих задач.
Решение:
В задаче 4 потенциал электрического поля меняется по закону $\varphi = x^2$ (В). Необходимо было определить напряженность поля в точке $x = 2$ м.
1. Напряженность электрического поля связана с потенциалом соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dx}$.
2. Находим производную потенциала по координате: $\frac{d\varphi}{dx} = \frac{d(x^2)}{dx} = 2x$.
3. Тогда $E = -2x$.
4. Подставляем значение $x = 2$ м: $E = -2 \cdot 2 = -4$ В/м.
Ответ: Пример расчета напряженности поля: $E = - \frac{d\varphi}{dx}$. Если $\varphi = x^2$ и $x = 2$ м, то $E = -4$ В/м.