Дано: Построить график квадратичной функции для заданных уравнений:
1) $y = x^2 + 5x - 6$
2) $y = x^2 + 5x$
3) $y = -x^2 + 7$
4) $y = x^2 + 2x + 1$
5) $y = x^2 + x + 1$
6) $y = x^2 - x - 6$
7) $y = 3x^2 + 6x$
8) $y = -x^2 + 5$
9) $y = 0.5x^2 + x + 0.5$
10) $y = x^2 - x + 1$
11) $y = x^2 + 6x + 8$
12) $y = 2x^2 - 4x + 2$
13) $y = x^2 - 3x$
14) $y = -x^2 + 4x - 4$
15) $y = x^2 - 2x + 2$

Решение:

Для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, необходимо найти координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат. Координаты вершины находятся по формулам: $x_в = -\frac{b}{2a}$ и $y_в = y(x_в)$.

1) $y = x^2 + 5x - 6$
1.  $x_в = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$
2.  $y_в = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 6 = 6.25 - 12.5 - 6 = -12.25$
3.  Вершина: $(-2.5, -12.25)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 + 5(0) - 6 = -6$, точка $(0, -6)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 + 5x - 6 = 0$. $D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49$. $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$. $x_1 = 1$, $x_2 = -6$. Точки $(1, 0)$ и $(-6, 0)$.

2) $y = x^2 + 5x$
1.  $x_в = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$
2.  $y_в = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$
3.  Вершина: $(-2.5, -6.25)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 + 5(0) = 0$, точка $(0, 0)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 + 5x = 0$. $x(x + 5) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = -5$. Точки $(0, 0)$ и $(-5, 0)$.

3) $y = -x^2 + 7$
1.  $x_в = -\frac{0}{2(-1)} = 0$
2.  $y_в = -(0)^2 + 7 = 7$
3.  Вершина: $(0, 7)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = -(0)^2 + 7 = 7$, точка $(0, 7)$
5.  Пересечение с осью $x$: $-x^2 + 7 = 0$. $x^2 = 7$. $x_{1,2} = \pm \sqrt{7}$. Точки $(\sqrt{7}, 0)$ и $(-\sqrt{7}, 0)$.

4) $y = x^2 + 2x + 1$
1.  $x_в = -\frac{2}{2(1)} = -1$
2.  $y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$
3.  Вершина: $(-1, 0)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 + 2(0) + 1 = 1$, точка $(0, 1)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 + 2x + 1 = 0$. $(x + 1)^2 = 0$. $x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

5) $y = x^2 + x + 1$
1.  $x_в = -\frac{1}{2(1)} = -0.5$
2.  $y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) + 1 = 0.25 - 0.5 + 1 = 0.75$
3.  Вершина: $(-0.5, 0.75)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 + (0) + 1 = 1$, точка $(0, 1)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 + x + 1 = 0$. $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Нет пересечений с осью $x$.

6) $y = x^2 - x - 6$
1.  $x_в = -\frac{-1}{2(1)} = 0.5$
2.  $y_в = (0.5)^2 - (0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$
3.  Вершина: $(0.5, -6.25)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 - (0) - 6 = -6$, точка $(0, -6)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$. $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$. $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Точки $(3, 0)$ и $(-2, 0)$.

7) $y = 3x^2 + 6x$
1.  $x_в = -\frac{6}{2(3)} = -1$
2.  $y_в = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3$
3.  Вершина: $(-1, -3)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = 3(0)^2 + 6(0) = 0$, точка $(0, 0)$
5.  Пересечение с осью $x$: $3x^2 + 6x = 0$. $3x(x + 2) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Точки $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

8) $y = -x^2 + 5$
1.  $x_в = -\frac{0}{2(-1)} = 0$
2.  $y_в = -(0)^2 + 5 = 5$
3.  Вершина: $(0, 5)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = -(0)^2 + 5 = 5$, точка $(0, 5)$
5.  Пересечение с осью $x$: $-x^2 + 5 = 0$. $x^2 = 5$. $x_{1,2} = \pm \sqrt{5}$. Точки $(\sqrt{5}, 0)$ и $(-\sqrt{5}, 0)$.

9) $y = 0.5x^2 + x + 0.5$
1.  $x_в = -\frac{1}{2(0.5)} = -1$
2.  $y_в = 0.5(-1)^2 + (-1) + 0.5 = 0.5 - 1 + 0.5 = 0$
3.  Вершина: $(-1, 0)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = 0.5(0)^2 + (0) + 0.5 = 0.5$, точка $(0, 0.5)$
5.  Пересечение с осью $x$: $0.5x^2 + x + 0.5 = 0$. $x^2 + 2x + 1 = 0$. $(x + 1)^2 = 0$. $x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

10) $y = x^2 - x + 1$
1.  $x_в = -\frac{-1}{2(1)} = 0.5$
2.  $y_в = (0.5)^2 - (0.5) + 1 = 0.25 - 0.5 + 1 = 0.75$
3.  Вершина: $(0.5, 0.75)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 - (0) + 1 = 1$, точка $(0, 1)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 - x + 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Нет пересечений с осью $x$.

11) $y = x^2 + 6x + 8$
1.  $x_в = -\frac{6}{2(1)} = -3$
2.  $y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$
3.  Вершина: $(-3, -1)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 + 6(0) + 8 = 8$, точка $(0, 8)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 + 6x + 8 = 0$. $D = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$. $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2}$. $x_1 = -2$, $x_2 = -4$. Точки $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$.

12) $y = 2x^2 - 4x + 2$
1.  $x_в = -\frac{-4}{2(2)} = 1$
2.  $y_в = 2(1)^2 - 4(1) + 2 = 2 - 4 + 2 = 0$
3.  Вершина: $(1, 0)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = 2(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$, точка $(0, 2)$
5.  Пересечение с осью $x$: $2x^2 - 4x + 2 = 0$. $x^2 - 2x + 1 = 0$. $(x - 1)^2 = 0$. $x = 1$. Точка $(1, 0)$.

13) $y = x^2 - 3x$
1.  $x_в = -\frac{-3}{2(1)} = 1.5$
2.  $y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$
3.  Вершина: $(1.5, -2.25)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 - 3(0) = 0$, точка $(0, 0)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 - 3x = 0$. $x(x - 3) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

14) $y = -x^2 + 4x - 4$
1.  $x_в = -\frac{4}{2(-1)} = 2$
2.  $y_в = -(2)^2 + 4(2) - 4 = -4 + 8 - 4 = 0$
3.  Вершина: $(2, 0)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = -(0)^2 + 4(0) - 4 = -4$, точка $(0, -4)$
5.  Пересечение с осью $x$: $-x^2 + 4x - 4 = 0$. $x^2 - 4x + 4 = 0$. $(x - 2)^2 = 0$. $x = 2$. Точка $(2, 0)$.

15) $y = x^2 - 2x + 2$
1.  $x_в = -\frac{-2}{2(1)} = 1$
2.  $y_в = (1)^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$
3.  Вершина: $(1, 1)$
4.  Пересечение с осью $y$: $y = (0)^2 - 2(0) + 2 = 2$, точка $(0, 2)$
5.  Пересечение с осью $x$: $x^2 - 2x + 2 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$. Нет пересечений с осью $x$.

Ответ: Для каждой квадратичной функции найдены координаты вершины, точки пересечения с осью $y$ и точки пересечения с осью $x$ (если они есть). Эти данные необходимы для построения графика каждой функции.