Дано:
Точка $F$ вне окружности.
$FAB$ и $FCD$ - секущие.
Хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $E$.
$\angle BFD = 36^\circ$.
$\stackrel{\frown}{AC} : \stackrel{\frown}{BD} = 2:5$.
Найти: $\angle BED$.

Решение:
1. Угол $BFD$ является углом, образованным двумя секущими, пересекающимися вне окружности. Следовательно, его градусная мера равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между секущими:
$$\angle BFD = \frac{1}{2} \left| \stackrel{\frown}{BD} - \stackrel{\frown}{AC} \right|$$
2. Пусть $\stackrel{\frown}{AC} = 2x$, тогда $\stackrel{\frown}{BD} = 5x$. Подставим в формулу из пункта 1:
$$36^\circ = \frac{1}{2} |5x - 2x|$$
$$36^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3x$$
$$72^\circ = 3x$$
$$x = 24^\circ$$
3. Тогда $\stackrel{\frown}{AC} = 2x = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$, а $\stackrel{\frown}{BD} = 5x = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$.
4. Угол $BED$ является углом, образованным пересечением двух хорд внутри окружности. Его градусная мера равна полусумме градусных мер дуг, заключенных между хордами:
$$\angle BED = \frac{1}{2} \left( \stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BD} \right)$$
5. Подставим значения дуг:
$$\angle BED = \frac{1}{2} (48^\circ + 120^\circ)$$
$$\angle BED = \frac{1}{2} \cdot 168^\circ$$
$$\angle BED = 84^\circ$$

Ответ: $\angle BED = 84^\circ$.