Дано: Параллелограмм $ABCD$, $\angle A = 60^\circ$, $AM$ - биссектриса $\angle A$, $M \in BC$, $AM \perp DM$, $AB = 6$.
Найти: Периметр параллелограмма $ABCD$.

Решение:
1. Так как $AM$ - биссектриса угла $A$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
2. Рассмотрим треугольник $AMD$. Так как $AM \perp DM$, то $\angle AMD = 90^\circ$. Тогда $\angle ADM = 180^\circ - \angle AMD - \angle MAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. В параллелограмме $ABCD$, $\angle A + \angle D = 180^\circ$, следовательно, $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
4. $\angle ADC = \angle ADM + \angle MDC$, следовательно, $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
5. Рассмотрим треугольник $CDM$. $\angle DMC = 180^\circ - \angle MDC - \angle MCD$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$, следовательно, $\angle MCD = 60^\circ$. Тогда $\angle DMC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
6. Так как все углы треугольника $CDM$ равны $60^\circ$, то треугольник $CDM$ - равносторонний. Следовательно, $CD = CM = DM$.
7. Рассмотрим треугольник $ABM$. $\angle ABM = \angle BCD = 60^\circ$. $\angle BAM = 30^\circ$. Тогда $\angle AMB = 180^\circ - \angle ABM - \angle BAM = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.
8. В прямоугольном треугольнике $ABM$, $AB = 6$. $AM$ лежит против угла $60^\circ$, а $BM$ лежит против угла $30^\circ$. Тогда $BM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.
9. Так как $BC = BM + MC$, а $BC = AD$ (противоположные стороны параллелограмма), то $AD = BM + MC$. Так как $MC = CD = AB = 6$, то $AD = 3 + 6 = 9$.
10. Периметр параллелограмма $P = 2(AB + AD) = 2(6 + 9) = 2 \cdot 15 = 30$.

Ответ: 30.